斜群范畴和协变化

Skew group categories and equivariantizations of categories are important research subjects in representation theory of algebras, which are closely related to representations of the skew group algebras and weighted projective lines. This project will investigate the representation theory properties and the homological properties of skew group categories and equivariantizations. Specifically, we will study the following topics: tilting theory and derived equivalences of skew group algebras; torsion theory and homological properties of skew group categories and equivariantizations; indecomposable objects and Auslander-Reiten theory in equivariantizations; the triangulated categorical structures of the skew group categories and the equivariantizations of derived categories. The study of these problems will enhance the understanding of skew group categories, equivariantizations of categories and weighted projective lines.

斜群范畴和范畴协变化是代数表示论中重要的研究对象, 与斜群代数的表示以及加权射影直线有着密切的联系. 本项目拟研究斜群范畴和协变化的表示论性质以及同调性质. 具体来说，我们将研究如下课题：斜群代数的倾斜理论与导出等价；斜群范畴和协变化的挠理论以及同调性质; 协变化的不可分解对象与Auslander-Reiten理论; 导出范畴的斜群范畴和协变化的三角结构. 这些问题的研究将有助于对斜群范畴、范畴协变化以及加权射影直线的理解.

本项目研究斜群范畴和协变化的范畴性质表示论性质. 在范畴结构方面, 就有限群对amenable范畴的严格作用, 我们给出了轨道范畴, 斜群范畴以及协变化之间的范畴包含关系. 特别地, 在群的阶数可逆的条件下, 斜群范畴和协变化是范畴等价. 进一步地, 我们得到Serre商范畴和斜群范畴(分别地，协变化)的范畴构造的相容性. 在表示方面, 我们首先给出原有结果(倾斜代数和斜群代数)的两个新证明. 其次, 我们证明了环的模范畴的协变化范畴等价于其斜群环的模范畴, 得到AR序列关于斜群范畴和协变化构造的变化结果. 最后, 我们给出了导出范畴的斜群范畴的三角结构.