非共振弹性梁方程的正解及数值解

该项目拟用非线性算子理论、拓扑度、半序方法、不动点理论、临界点理论、Morse理论等研究非共振弹性梁方程解、正解的存在性、唯一性、多重性以及解的性质；结合Galerkin等方法得到问题的数值解求法和数值解。首先，对简支梁问题在第一特征线右侧的前期研究未考虑到的参数范围内讨论问题解、正解的存在性、唯一性以及多重性，变号解的存在性，同时在前期研究考虑过的第一特征线左侧，深入研究当影响荷载因素较多时问题正解的存在性、唯一性、多重性，荷载项参数对解的影响等，并对结果进行数值模拟，使具有较好的应用价值，其次讨论悬臂梁问题、周期边值问题和多点边值问题以及一些其它类型边值问题正解的存在唯一性，最后在上述研究问题解唯一的所有情形考虑其数值解，使研究工作更具有深度、广度和创新性。 弹性梁方程描述的是弹性横梁的形变，具有重要的实际背景，该项目能从理论上深化完善已有研究，因此具有重要的理论和实际意义。

本项目研究的问题之一是弹性梁问题正解以及数值解，该问题在工程、物理等方面具有重要实际意义。利用非线性算子理论，考虑了带有三参数以及扰动外力项的非共振简支梁问题正解唯一性，得到了在第一特征线左侧、扰动外力在一定凸性条件下，参数在一定范围内，问题的正解存在唯一，同时还考虑了两端固定条件下带有三参数弹性梁问题解的存在性，以及四阶常微分方程多点边值问题的正解存在性问题，得到了正解存在的充分条件。此外还讨论了非线性方程数值解，纠正了他人研究的错误，首次引入收敛增速因子的概念，并推广了他人的结果。 研究内容之二是时标上动力方程，首次建立了时标上时滞动力方程的基本理论，如初值问题的存在性、唯一性等问题，为同行工作者在时标上研究解的渐进性、振动性等问题奠定了基础，同时还在时标上讨论了一类混合型带有两个参数的非线性积分方程方程解的存在性，体现出两个参数对解的存在性贡献的“对等”与“不对等”性， 结果在时标上时新的，也推广了在实数轴上的情形。研究内容之三是对带有一阶导数非线性项的非线性积分-微分方程的极大极小解存在性，同时考虑了一类分数阶微分方程初值问题局部极值解以及整体解存在性。 研究内容之四是差分方程，对几类二阶、三阶差分方程的振动性、有界性、稳定性进行系统研究，并推广和改进了国内外研究者的相关结果。