关于度量空间、Banach空间的嵌入和粗嵌入问题

经典Banach空间嵌入理论一直是泛函分析研究的核心问题，特别是近年来具有深刻粗几何背景的"粗嵌入"成为"嵌入"研究领域中目前国际同行高度关注的一个崭新课题。本项目致力于加强和发展嵌入问题研究的理论、工具和方法，将经典"嵌入"理论和现代的"粗嵌入"理论有机结合起来，探讨和解决下列领域的重要问题：.1）有界几何"生成"超弱紧集的条件；.2）有界几何生成的超弱紧集的嵌入与有界几何本身粗嵌入的关系；.3）有界几何能够粗嵌入一致凸空间或Hilbert空间的特征和充分条件；.4）可分度量空间能够粗嵌入一致凸空间或Hilbert空间的特征和充分条件；.5）度量空间（特别的Banach空间）的粗嵌入问题。

一方面，证明了Banach空间的一类超弱紧凸集分享了超自反空间的诸多良好的几何和拓扑性质，例如超自反空间的James特征和Enflo再赋凸性和光滑性等，所得结果包括.（1）建立了超弱紧集同已有概念，如一致弱零集、Banach-Saks集等的重要联系。.（2）建立了超弱紧集的Grothendieck特征。.另一方面. (3)研究了广义Mazur-Ulam问题，刻画了一类Banach具有Mazur-Ulam性质的Banach空间。.（4）特征了具有广义Mazur交性质的赋范空间，并应用于解决一类方程的稳定性问题。.（5）利用可微性理论研究了粗等距映射的线性化问题，这为应用于粗同胚提供了重要的基础。.（6）建立了球覆盖与球拓扑的紧密联系，为球面一致同胚映射的构造创造了基础。