加乘估计及相关问题的研究

加法组合是国际上最近十几年兴起的非常活跃的研究方向，以关心对象的加法结构为主要目的，其研究手法遍历诸如数论，调和分析，组合数学，图论，概率论，动力系统等诸多分支学科。国际上诸多顶级数学家都在此方向上做出过重要贡献。.本项目计划主要研究实数域和有限域上的加乘估计问题及其应用，寻找新的二维扩张子以及探索Ruzsa距离问题。这几项研究内容之间联系紧密，环环相扣。有限域上解决一些解析情形下提出的分析问题是当前数学研究的一个热点，实数域以及有限域上的加乘估计问题就是具有如此特点的一个代表问题。.本项目的特色之一是追求更佳的显示定量估计效果，项目的研究需要很多其它的辅助数学工具。

项目负责人基本遵循了青年科学基金项目《加乘估计及相关问题的研究》所预先设定的研究计划，并且在加法组合的几个问题以及丢番图逼近问题上取得了较好进展。详情请参见报告正文。 例如，针对有限素域上基数较小的集合的加乘估计的研究，项目负责人曾在2009年证明了扩张指标可以取为13/12，而Bristol大学的Misha Rudnev在2010年将扩张指标改进为12/11。Oliver Roche-Newton是Rudnev的博士研究生，我们一起合作将Rudnev的上述结果推广至一般有限域情形，所得的扩张指标依然是12/11，这一结果大大改进了之前Nets Hawk Katz和Chun-Yen Shen所取得的20/19。..受本次青年科学基金项目的资助，项目负责人所取得的一些结果以文章形式发表在Acta Arithmetica, Mathematika, SIAM J. Discrete Math, Uniform Distribution Theory, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica等数学杂志上。