四元数有理曲线曲面的构造与应用

Complex rational curve is a special kind of representation for planar rational curve which emerged recently in the field of geometric modeling. Complex rational representation has several advantages over classical rational representation. To generalize complex rational curve to 3-dimension cases, we are going to introduce the definition of quaternion rational curves and surfaces. Properties and advantages of quaternion rational curves and surfaces will be analyzed. We will also discuss μ-bases computation for quaternion rational curves and surfaces and their application, conditions for determining a rational curve or surface to be a quaternion rational curve or surface, how to represent canal surfaces and cyclides by quaternion rational surfaces. Thus, we can give a novel method to represent curves and surfaces which will facilitate their applications. Moreover, Clifford algebra and Lie algebra will be further introduced into the field of geometric modeling.

复有理曲线是近期出现在几何造型领域的一种平面曲线表示形式，该表示形式在分析与计算上有着独特的优势。为了将复有理曲线推广到三维空间，我们拟基于四元数系统的特点，给出四元数有理曲线曲面的定义，并分析该表示的特点与优势。我们还将讨论四元数有理曲线曲面的μ基计算与应用；如何判别一个一般有理曲线曲面能否表示成四元数有理曲线曲面；canal曲面、cyclide曲面等常见曲面的四元数有理表示。上述研究结果将为几何造型中曲线曲面的表示提供一种新的解决方法，进而促进Clifford代数与Lie代数在几何造型中的应用。

复有理曲线在曲线表示上具有表示次数低，圆弧精度，独特的μ基表示形式等诸多优点，但复有理曲线的相关结论只限于平面实有理曲线的情形。本项目提出了复μ基的概念，并进行了初步的研究，讨论了二次有理曲面的复μ基，丰富了曲线曲面μ基理论。 此外，为了将复有理曲线的相关结论推广到高维情形，本项目基于四元数系统的特点，引入了四元数有理曲线曲面，并分析了该表示的特点与优势。进而探讨了四元数有理曲线曲面的μ基的特性与计算方法，从而为四元数有理曲线曲面的隐式化提供一个高效算法。此外，给定一个参数曲线曲面，我们给出了相关理论与方法来判断其是否为四元数有理曲线曲面。本项目还基于μ基理论探讨了双有理映射的构造方法，得到了张量积(n,1)形的双有理映射构造方法。这些研究结果将促进了Clifford代数，Lie代数等相关经典代数知识在几何造型中应用。