Navier-Stokes-Allen-Cahn方程组的适定性研究

The moving interface of two-phase flows is formed by physical and chemical changes such as heat transfer, mass transfer and phase transitions. It is one of the most challenging problems in the two-phase flows. In this project, we consider a model of a binary mixture of viscous and macroscopically immiscible fluids, based on the diffuse interface approximation, which we called it as Navier-Stokes-Allen-Cahn system. In particular, we will mainly study well-posedness and large-time behavior of solutions for generalized Navier boundary value problems and Cauchy problem, and sharp interface limits of Navier-Stokes-Allen-Cahn system. This model is used to describe the moving interface of two-phase flows, such as the oil-steam interface formed in the thermal recovery of heavy oil and the solid-liquid interface in the metal solidification process. It has been widely used in the modern applied science, such as oil extraction and refining, chemical and material processing, and biological engineering and so on. The study of mathematical theory of this model has important theoretical significance and application background of science.

两相流界面的运动是物质传热传质、相变等物理化学变化过程的重要现象之一，是两相流问题中最具挑战性的难点之一。本项目致力于研究一类两相流扩散界面模型Navier-Stokes-Allen-Cahn系统，主要研究的内容包括三维Navier-Stokes-Allen-Cahn方程组广义Navier边值问题和柯西初值问题解的适定性、大时间行为，以及扩散界面厚度趋于零时的渐近极限，即尖锐界面极限。该方程组用于描述石油热采过程中形成的稠油-蒸汽界面、金属凝固过程中形成的固液界面等两相流运动界面问题，广泛应用于石油开采和提炼、化工和材料加工及生物工程等现代应用科学，其数学理论的研究有重要的理论意义和应用科学背景。

可压缩Navier-Stokes-Allen-Cahn（NSAC）方程组是一类重要的描述宏观不混溶两相流运动的扩散界面模型，广泛应用于化工材料、石油开采、3D打印等领域。本项目致力于研究两相流扩散界面模型NSAC方程组的适定性及动力学行为，主要研究内容为包括可压缩NSAC方程组广义Navier边值问题和柯西问题解的适定性及大时间行为、可压缩两相流扩散界面模型柯西问题的尖锐界面极限分析以及其他相关的复杂流体力学方程组解的适定性。针对以上的研究内容，得到了三维可压缩NSAC方程组广义Navier边值问题强解的局部存在唯一性；对于热传导系数依赖温度的一维非等熵NSAC方程组初边值问题的全局强解的存在唯一性；对于三维NSAC方程组的柯西问题，当初始值在相分离状态小扰动条件下，分别得到了等熵和非等熵情形的全局强解的存在唯一性和最优时间衰减率；针对三维可压缩非等熵NSAC方程组的尖锐界面极限问题，讨论了两种不同相场扩散系数的情况，通过渐近匹配展开的方法，从方程组解的渐近极限中得到两相流自由边界问题的界面条件。此外，还得到了二维磁流体方程Navier边值问题大初值整体强的存在性和活性液晶流体方程的弱解、正则性和弱强唯一性。本项目的研究既丰富和发展了偏微分方程的数学理论，又能为实际问题的研究提供重要的理论支撑，具有重要的科学意义和广泛的应用前景。