分数阶微分方程中Toeplitz型线性方程组的预处理与迭代算法研究

Fractional differential equations have significant applications for describing anomalous diffusion and memory of material, and their theories and numerical solutions are a research focus in recent years. Numerical discretization for fractional differential equations usually leads to Toeplitz-like linear equations. Therefore, designing efficient algorithms for solving Toeplitz-like linear equations has major theoretic valve and wide-ranging application. The project will mainly carry out a research about efficient methods for solving three Toeplitz-like linear equations which arise from the discretization of the space fractional nonlinear Schrödinger equations, the space fractional diffusion equations and the space fractional advection-diffusion equations by finite difference methods. Concrete contents are: design matrix splitting iteration methods by making use of the special structures and properties of these coefficient matrices, and analyze the convergence of these iteration methods; according to matrix splitting iteration methods, construct corresponding matrix splitting preconditioners and approximate preconditioners, and prove the effectiveness of these preconditioners; design efficient preconditioned Krylov subspace methods. The fulfillment of this program can provide suggestions and methods for solving other Toeplitz-like linear equations, and it plays an improving role in the development of the numerical methods for fractional differential equations.

分数阶微分方程在描述反常扩散和材料记忆性方面有着重要应用，其理论及数值求解方法是近年来研究的热点。数值求解分数阶微分方程最终一般归结为求解Toeplitz型线性方程组。因此，设计求解Toeplitz型线性方程组的高效算法具有重要的理论意义和实用价值。本项目将主要研究空间分数阶非线性Schrödinger方程、空间分数阶扩散方程和空间分数阶对流扩散方程经过有限差分离散后得到的三类Toeplitz型线性方程组的高效求解算法。具体内容包括：利用系数矩阵的特殊结构和性质设计矩阵分裂迭代算法并分析算法的收敛性；根据矩阵分裂迭代算法构造相应的矩阵分裂预处理子和逼近预处理子并证明预处理子的有效性；设计高效的预处理Krylov子空间迭代算法。本项目的研究将为其它Toeplitz型线性方程组的求解提供思路和方法，对分数阶微分方程数值解的发展起到一定的推动作用。

Schrödinger方程是量子力学最基本的方程，由布朗运动的路径积分得到，揭示了微观世界中物质运动的基本规律。Laskin将布朗型的积分路径替换为Lévy型的量子力学时就得到了分数阶Schrödinger方程，其已被用于解释高分子材料的复杂量子过程，在解释和描述各种量子反常扩散（例如激光制冷）上有潜在的意义。本项目主要研究了空间分数阶非线性Schrödinger方程经过一个无条件稳定的有限差分格式离散后得到的一类Toeplitz型复线性方程组的求解问题。复线性方程组的系数矩阵的实部为非负对角矩阵加上对称正定的Toeplitz矩阵，虚部为单位矩阵。.针对这样一类复线性方程组， 我们首先构造了基于Hermitian及反Hermitian分裂（HSS）的四个预处理子，提出了相应的预处理迭代法。第一个预处理子是HSS预处理子。第二个预处理子是基于HSS预处理子的非对称Gauss-Seidel分裂的二级预处理子。第三个预处理子是HSS-like分裂预处理子。第四个预处理子是Strang循环逼近HSS-like分裂预处理子。我们接着又提出了部分不精确HSS（PIHSS）迭代方法。在以上提出的两类方法的基础上我们最后提出了保结构化预处理和循环预处理迭代方法。理论分析和数值实验表明了以上三类方法都是有效的，且都有各自的优点。.关于数值求解这样一类复线性方程组是数值代数中一个非常重要的研究课题，本项目的研究结果具有重要的理论意义和实用价值，进一步丰富了Toeplitz型线性方程组的研究成果，为其它Toeplitz型线性方程组的求解提供了思路和方法，为数值求解分数阶Schrödinger方程提供了新的活力。