具有正则*-断面的正则半群的代数结构及簇理论研究

Describing the characterizations of the class of regular semigroups is the main stream in the studies of algebraic theory of semigroups. This research project will study a class of special regular semigroups, namely regular semigroups with regular *-transversals. These semigroups are generalizations of inverse semigroups, but the structures of their idempotents are more complicated. This program consists of the following two aspects: (1) Investigate the algebraic structures of regular semigroups with regular *-transversals by “categorical approach” and “covering approach”; (2) Describe the equation set, free object and word problem of the (2,1)-algebra variety of regular semigroups with regular *-transversals, and determine the lattice of the subvarieties of this variety and the Malcev products of some subvarieties. The study in this program will help us to understand deeply the interesting class of regular semigroups with a regular *-transversal and also provide some thoughts and methods for the study of other types of semigroups.

刻画正则半群类的特征是半群的代数理论的研究主流。本项目拟对一类特殊的正则半群，即“具有正则*-断面的正则半群”展开研究。虽然这类半群是逆半群的推广，但其幂等元集的结构要复杂的多。本项目主要进行以下两方面的研究：（1）用“范畴方式”和“覆盖方式”研究“具有正则*-断面的正则半群”的代数结构；（2）刻画“具有正则*-断面的正则半群”构成的(2,1)-代数簇的等式集，自由对象及字问题，决定这个簇的子簇格及某些子簇的Malcev积。本项目的研究可使我们更深刻的理解“具有正则*-断面的正则半群”这一有趣半群类，同时也为研究其他类型的半群提供思路和方法。

本项目为2016年立项，2017年开始执行的为期4年的地区科学基金项目。项目的立项背景是用范畴论和簇理论的观点研究“具有正则*-断面的正则半群”的若干子类及它们的一些推广形式。本项目执行期内进行的主要研究内容有：几类半群的代数结构、自由对象及结合代数；几类半群的凯莱图和格林图的性质以及完全二部图的边传递嵌入问题。. 根据国际上半群研究的新趋势，本项目基本上是在非正则半群的框架下展开研究，即首先将“具有正则*-断面的正则半群”及其若干子类拓展到非正则半群范围并得到研究结果，然后作为特例得到正则情形的相关结果。 .本项目对“具有正则*-断面的正则半群”的若干子类及它们的推广形式作了较为系统的研究。 一方面，获得了具有拟理想正则*-断面的正则半群，P-Ehresmann半群，P-限制半群，广义Ehresmann半群，伪Ehresmann半群和弱P-Ehresmann半群的精细的代数结构，建立了广义限制的P-限制半群的完备化定理，发现了弱P-Ehresmann半群的几个有趣子簇，刻画了广义限制的P-限制半群的自由对象，描述了P-Ehresmann半群张成的结合代数，给出了纯正P-限制半群的覆盖定理。另一方面，获得了广义Brandt半群上某些凯莱图同构的充分必要条件；证明了有限无向图均同构于某个半群的格林图，给出了完全二部图有唯一定向边传递嵌入的充要条件。 . 项目目前共完成学术论文25篇，其中已发表16篇（SCIE收录11篇，CSCD核心版收录3篇），录用待发表6篇（SCIE源刊3篇），已投稿3篇，圆满完成了项目申请时提出的“预计共发表学术论文12篇左右”的目标。. 本项目在半群的代数结构、图结构和簇理论等方面均取得了一些有意义的结果。项目将逆半群的三种研究方式“基本方式”、“范畴方式”和“覆盖方式”成功的拓展到了“具有正则*-断面的正则半群”的若干子类及它们的一些推广形式，刻画了这些半群类的代数结构、图结构、自由对象及结合代数。这些结果不仅对深刻认识这些半群类及其相关应用有重要意义，也为半群理论的研究提供了新素材、新思路和新方法。