量子简并气体的模型约化和高效快速算法设计

At extremely low temperature, quantum degenerate gas includes Bose-Einstein condensates(BEC) and quantum degenerate Fermi gas. Theoretically, many complicated partial differential equations have been appeared in successful mathematical representation of physical phenomena of quantum degenerate gas. Their theoretical solutions have found success in understanding and explaining the physics of BEC and quantum degenerate Fermi gas. However, analytical methods for finding their solutions remain very limited. In this project, we consider model reductions and design of efficient and fast numerical methods for such quantum degenerate gas. The models that are taken into consideration include: GP equations for modeling spin-orbit coupled BEC; GP-Poisson equations for describing dipolar BEC; GP-Vlasov equations for interpreting Bose-Fermi mixture; and multi-particle Schrodinger equation for description of quantum degenerate Fermi gas. We firstly reduce these models into simplified formulations. We then design fast and efficient numerical methods for them, and analyze their numerical merit such as stability and conservativeness. We finally apply the proposed numerical methods into investigating the ground state and dynamics of spin-orbit coupled BEC, dipolar BEC, Bose-Fermi mixture and quantum degenerate Fermi gas, respectively.

超低温度下的量子简并气体包含玻色-爱因斯坦凝聚态（BEC）与量子简并费米气体。理论上，许多复杂的偏微分方程模型出现在量子简并气体的复杂物理系统的数学描述之中。它们的理论解在关于BEC与量子简并费米气体物理现象的理解与解释有着广泛的应用，然而能找到它们理论解的解析方法十分有限。在本项目中，我们主要考虑超低温度下量子简并气体的模型约化与高效数值方法设计。这类模型主要包括：描述自旋轨道耦合BEC的GP方程组；描述极子BEC的GP-Poisson方程组；描述玻色与费米混合气体的GP-Vlasov方程组；描述量子简并费米气体的多粒子薛定谔方程。我们先分别为这些偏微分方程模型做合适的简化，然后依次为这些简化的模型设计高效快速的计算方法—谱方法，并分析方法的数值特性（包括稳定性、守恒性等），最后利用所设计的方法分别研究自旋轨道耦合BEC、极子BEC、玻色与费米混合气体以及量子简并费米气体的基态与动力学。

在本国家自科基金项目(91430103)中，我们主要考虑超低温度下量子简并气体的模型约化与高效数值方法设计。所研究的模型主要包括：描述自旋轨道耦BEC物理的GP方程组；描述极子BEC物理的GP-Poisson方程组；描述玻色与费米混合气体物理的GP-Valsov方程组；描述量子简并费米气体物理的多粒子薛定谔方程。我们先分别为这些偏微分方程模型做合适的简化，然后为依次这些简化的模型设计高效快速的计算方法—谱方法，并分析方法的数值特性（包括稳定性、守恒性等），最后利用所设计的方法分别研究自旋轨道耦合BEC的基态与动力学、极子BEC的基态与动力学、玻色与费米混合气体的基态与动力学以及量子简并费米气体的基态与动力学。..项目组成员按照项目计划书从事相关研究。我们先分别为GP方程组、GP-Poisson方程组、GP-Valsov方程组等偏微分方程模型做合适的简化，然后为依次这些简化的模型设计高效快速的计算方法，并分析方法的数值特性（包括稳定性、守恒性等），最后利用所设计的方法分别研究量子简并费米气体的基态与动力学相关问题。..自立项以来，项目组成员总计发表论文22篇。研究成果以论文形式发表，部分论文发表在国内外优秀学术期刊上（例如Science China A, Journal of Computational Physics, Physical Review B, Computer Physics Communications, Computers and Mathematics with Applications, IEEE Journal of Quantum Electronics等）。