信息几何在统计力学中的应用

The application of Information geometry to statistical mechanics is a new and hot interdisciplinary research field. The project is divided into the following contents..1. D.C. Brody et al. brought the idea of the information geometry to the field of statistical mechanics，however they used only the normal Riemannian connection and its applications are restricted. Similar to the new “alpha-connection” proposed by Amari, we will define the new concept “alpha-connection” on the state space of statistical mechanics parameters and calculate the “alpha-curvature”. Furthermore, we study its geometrical structure ..2. For higher dimension statistical mechanics manifold, we will construct the submanifolds of higher dimension statistical mechanics manifold with good properties and investigate the optimal estimation point by means of the projection theory..3. Few authors investigated non-exponential statistical manifold. Here we will consider non-exponential family manifold and set up reasonable metric. Then we will study its geometrical structure and compare it with exponential manifold..These researches will extend the theory and the applications of Information geometry. .Furthermore, the geometrical structures of alpha-connection and alpha-curvature play very important roles in explaining the stability of the statistical mechanical system.

信息几何在统计力学中的应用是一门新的热点跨学科领域。本项目分以下内容：.1、D.C. Brody 等已经把信息几何应用到统计力学，但他们使用的仅仅是标准的黎曼联络，适用范围很有限。 类似Amari新定义的alpha-联络，本项目研究在统计力学系统由参数所构成的流形中定义新的alpha-联络, 并计算alpha-曲率以及流形平坦等几何结构。.2、 对于高维统计力学流形，本项目将构造其性质比较好的子流形，然后用投影理论寻找最佳逼近点等。.3、目前在统计力学领域利用信息几何研究的非指数族流形还比较少，本项目将研究一些非指数族流形，建立合理的度量，得到其几何结构，并与指数族流形做比较。.这些研究将进一步拓展信息几何的理论和应用。而且alpha-联络以及alpha-曲率的几何结构对于解释统计力学系统的稳定性都具有重要的应用价值

本项目运用信息几何的对偶平坦、投影定理等理论，研究了统计力学模型，在建立统计力学参数流形的几何结构方面，已取得了初步结果。. 我们的研究结果如下： 首先，我们研究了经典理想气体、范德瓦尔斯气体、伊辛模型，平均场模型，通对它们的密度函数证明其参数化流形是指数族流形，利用对偶势函数得出alpha-联络，并计算alpha-曲率以及流形对偶平坦，以及给出衡量两点之间距离的alpha-散度。.　　其次，关于（2）高维统计力学流形，我们给出流形的e-平坦等级结构和正交分层，讨论了其所具有的的嵌套和叶状结构，进而，我们在流形上用测地线-投影算法解决了从高维统计力学流形到它的子流形的最佳逼近点问题。.　　最后，关于（3）非指数族流形，我们研究的是Birkhoff系统的Birkhoff张量构成的反对称可逆矩阵全体的流形，在其上用矩阵的迹定义了黎曼度量， alpha- 联络, 得到Birkhoff 张量流形的几何结构。.　　这些研究将进一步拓展信息几何的理论和应用。 而且alpha-联络以及alpha-曲率的几何结构对于解释统计力学系统的稳定性都具有重要的应用价值。.下一步我们计划继续研究信息几何在统计力学中的应用，得到描述更多统计力学性质的不变几何量。 用信息几何的方法更准确地分析统计力学系统的稳定性以及其他物理意义。