非局部模型关于影响域半径的定量分析

Nonlocal phenomena appears widely in real lives. Therefore, it is very necessary to study the related nonlocal models including nonlocal diffusion models and peridynamic models, which is an advanced subject among fields of mathematics, physics and engineering. The horizon is the most important parameter in nonlocal models. The study on nonlocal models, especially on the horizon of nonlocal models, has not only great academic value, but also particularly practical significance. In this project, our team will intensively study how the nonlocal diffusion models and peridynamic models depend on the horizon and other parameters. Equivalences between energy norms of nonlocal models and Sobolev space norms will be established with quantitative dependence on the horizon and other parameters on convex domains and non-convex domains respectively. More results with quantitative dependence on the horizon and other parameters will be established, such as the boundness of the solution, numerical errors of finite element approxiamtions, and the condition number of the stiffness matrix.

非局部现象普遍存在于真实世界之中。因此，很有必要研究相应的非局部模型，包括非局部扩散模型和非局部材料模型，这是当今数学、物理以及工程领域一个重要的前沿课题。非局部模型最重要的参数就是影响域半径。关于非局部模型的研究，特别是关于非局部模型影响域的研究，不仅具有很高的理论价值，更具有特别重要的实际意义。本项目将深入研究非局部扩散模型以及非局部材料模型关于影响域半径及其它参数的相关性，建立凸区域上和非凸区域上非局部模型能量模范数与Sobolev空间范数等价性关于影响域半径及其它参数的定量依赖关系，并进一步建立更多关于影响域半径和其它参数依赖关系的定量结果，包括解的有界性，有限元误差以及刚度矩阵的条件数。

对于非局部模型来说，最重要的参数就是影响域半径。因此，关于非局部模型影响域的研究意义重大。本项目针对一般的非局部模型，包括非局部扩散模型和peridynamic模型，定量的揭示了非局部模型是如何依赖影响域半径和其它参数的。我们建立了凸区域上和非凸区域上相应的能量模范数与Sobolev空间范数等价性关于影响域半径和其它参数的定量依赖关系，并进一步建立了更多定量分析结果，比如解的有界性关于影响域半径和其它参数的定量依赖关系、有限元误差关于影响域半径和其它参数的定量依赖关系，有限元刚度矩阵的条件数关于影响域半径和其它参数的定量依赖关系等。