基于分数阶微分方程的MRI的理论和算法的研究

This project will study the theory and computation of MRI based on fractional differential equation for improving the resolution of medical images. It includes as follows: 1) by the nature of anomalous diffusion in certain heterogeneous systems, we shall establish the fractional models and the like Oldroyd-B fluid model for MRI based on the multi-term time and distributed time fractional derivatives; 2) The well-posedness of the solution to the proposed models will be investigated, and the physical meaning will be established further; 3) Some highly effective and accurate numerical methods will be established, and the stability and convergence of the numerical schemes will be studied. Moreover, we shall apply these models and algorithms to the performance of MRI. In this project, we shall study deeply the multi-scale features of the anomalous diffusions in biological tissues. Compared with the presented fractional Bloch or Bloch-Torrey model, our new models can describe the inner constructs of the biological tissues accurately, enhance the resolution of MRI medical image by using these models, and hence improve the precision of early brain tumour recognition. Therefore, we will study deeply these problems, which not only can extend the basis theory of the Bloch equations in some heterogeneously complex systems, but also will be helpful for the brain tumour diagnosis and treatment based on MRI medical images.

本课题拟研究基于分数阶微分方程提高MRI医学图像分辨率的理论和数值计算方法。具体内容包括：1) 根据多组分系统反常扩散的特点，建立基于多项时间和分布时间分数阶导数的MRI分数阶模型和类Oldroyd-B流体模型；2) 研究所建立的分数阶模型解的适定性，进一步研究方程解的物理意义。3) 建立所提模型的高效及高精度算法，进一步研究算法的稳定性和收敛性，并利用所建立的模型和算法，运用于MR医学成像的实践中。本项目将深入研究生物组织反常扩散在时间空间上的多尺度特征，与现有的分数阶Bloch或Bloch-Torrey模型比，这些新的模型能更精确地反映生物组织的内部结构，使基于这些模型的MRI医学图像的分辨率得到进一步提高，从而可提高识别早期脑肿瘤的准确率。因此深入研究这些问题，既能丰富在多组分等复杂系统中Bloch方程的基本理论，又能为基于MRI医学图像的脑肿瘤的诊断治疗提供有益的帮助。

随着MRI应用的越来越广泛，对时间和空间分辨率的要求越来越高，关于自旋动力学基础的研究的重要性得到了广泛的共识。来自实验室的结果表明：利用单指数函数，甚至多指数函数描述多组分或各种生物组织等复杂系统是不精确的。这些问题须利用形如的“伸长指数函数”才能得到更精确的解释。. 本项目主要针对生物组织中反常扩散在时间空间上的多尺度特征，开展磁共振成像（MRI）的高效、高精度数值算法的研究，通过利用分数阶导数的“记忆性”和“长程相关性”的特点，研究求解多项时间分数阶方程，分数阶Bloch方程，特别是分数阶Bloch-Torrey方程的有效的数值方法，并将得到的模型和方法应用于医学图像处理的实践之中。主要研究内容包括：建立基于多项时间分数阶导数和基于分布时间分数阶导数的MRI分数阶模型，建立类Oldroyd-B流体模型的分数阶Bloch-Torrey方程；研究模型解的适定性；建立高效及高精度算法，进一步研究算法的稳定性和收敛性，并应用于MR医学成像的实践中。. 我们获得了以下成果：一是利用新的参数估计技术，深入研究了多项分数阶、分布分数阶Bloch-Torrey方程的参数设定问题，掌握了几个关键参数的取值范围；二是建立了多项时间分数阶方程数值解的谱方法的稳定性、收敛性理论，特别是得到了一个基于递归思想的十分有效的分数阶谱配置算法；三是研究了求解分数阶Laplace算子的矩阵变换技术，得到了基于谱方法的矩阵变换技术的完整的理论分析结果；四是对不规则区域中高维分数阶方程的有效数值方法进行了研究，解决了利用无网格方法求解不规则区域的分数阶方程的技术难点。另外，我们也在医学图像着色、图像分割，以及在MRI图像与CT图像的对比上开展了一些工作。