自然诱导的特殊几何结构及其分类研究

许多外围空间可以在其子空间上以自然的方式诱导出特殊的几何结构。对于这些结构的研究不仅是子流形几何的重要内容，也与数学物理密切相关。近年来，相关的研究内容十分丰富，特别令人关注。比如：熟知的极小子流形、等参超曲面、超曲面的仿射几何及子流形的Moebius几何等。本项目主要研究那些由外围空间本身的几何或代数结构（如度量结构、共形结构、仿射结构、李群结构、特殊的G-结构等）在其子空间上所自然诱导的几何结构（如仿射不变度量、共形不变度量、自然诱导的G-结构等），重点关注这些诱导结构本身的几何特性、与其它几何分支（如复空间形式的子流形几何等）的互动联系、以及那些具有特殊诱导几何结构的子空间的分类问题。在现有基础上，项目组成员将对这些自然诱导的仿射结构或共形结构（如相应的仿射或共形黎曼度量、Blaschke张量）、特殊G-结构等进行深入系统的研究，目标是要建立一些具有鲜明特色的特征刻画定理和分类定理。

本项目主要研究由外围空间本身的几何或代数结构在其子空间上所自然诱导的几何结构，重点关注这些诱导结构本身的几何特性、与其它几何分支（如复空间形式的子流形几何等）的互动联系、以及那些具有各种特殊诱导几何结构的子空间的分类问题。在本项目的执行期间，课题负责人带领项目组其他成员，在此前工作的基础上积极开展与项目相关的研究活动，共完成并表科研论文二十余篇, 其中有十五篇在SCI或SCIE源期刊上发表。四年来，项目组主要在仿射超曲面（特别是对称仿射球、具有$\alpha$-度量的抛物型相对仿射球及相应的仿射Bernstein问题）、微分算子的特征值估计、Lagrange平移孤立子及拟Einstein流形等方面进行了深入的研究。特别是，项目负责人在有关对称的等仿射球与复空间形式中对称的Lagrange极小子流形的关系的研究方面有了突破性进展，根据黎曼对称空间的对偶性建立了上述两类对象之间的一一对应。事实证明，这个新建立的对应定理有重要的应用价值和很好的应用前景。除此之外，项目负责人还建立了实空间形式的乘积空间中一般子流形的基本定理，为下一步在此方面的研究奠定了基础。项目组的其他成员按照事先确定的计划，围绕着各自负责的子课题进行了认真而卓有成效的研究工作。比如：曹林芬博士对黎曼流形（特别是半平面）上的积分方程进行了深入的讨论，得到了若干Liouville型的定理；再如：黄广月博士在微分算子的特征值估计及拟Einstein流形方面的研究、许瑞伟博士对于具有$\alpha$-度量的抛物型相对仿射球及Lagrange平移孤子解方面的研究、齐学荣博士对黎曼流形的切丛及球丛上hyper-Kaehler (Sasaki 3-contact)结构所进行的研究等，均得到了有意义的成果。因此，我们认为从整体上看，我们已经完成了本项目的目标任务。