随机最优控制理论在委托代理问题中的应用

Based on the stochastic control theory, the project studies continuous-time principal-agent model in continuous-time under Knightian ambiguity deeply. Combining with the theory of backward stochastic differential equation, we shall study the optimal contract of the principal-agent problem from two aspects of stochastic control theory: dynamic programming method and maximum principle. On one hand, the dynamic programming principle can establish the relationship between principal-agent optimization problems and the associated partial differential equations. By studying the partial differential equation, we could get the properties of the optimal contract. On the other hand, the maximum principle characterizes the optimal action and the optimal contract intuitively, derives the necessary condition of optimal action and contract. And further we study the sufficient conditions, i.e. verification theorem. Finally we put the results into practice, such as, insurance problem, the company's financial model etc. Meanwhile, we strengthen the cooperation with international to get a batch of the forefront theoretical results in the field of financial mathematics. Joining backward stochastic differential equation, financial mathematics, stochastic control theory and other disciplines together, the project which is a international frontier research topic involves a very interesting and challenging field, and aims to develop the principal-agent theory.

该项目以随机控制理论为基础，深入研究Knightian模糊环境下的连续时间委托代理模型。以倒向随机微分方程理论为核心，从动态规划方法和最大值原理两个角度全面研究最优合约问题。一方面，动态规划原理可以建立委托代理优化问题与相应偏微分方程之间的关系，通过偏微分方程进一步研究最优合约的性质；另一方面，最大值原理可以直观刻画最优行动和最优合约，得到最优行动和最优合约应满足的必要条件，进一步研究其充分性，即检验定理。最后把所得结论付诸于实践，应用于实际委托代理模型（如保险模型、公司金融模型等），同时加强与国际国内金融界合作，得到一批国际前沿、国内领先的金融数学领域的应用基础理论成果。本项目的研究旨在发展委托代理理论，综合了倒向随机微分方程、金融数学、随机控制等学科，是一个国际前沿的研究课题。

自1990年著名概率学和金融数学专家彭实戈院士与Pardoux教授首次建立非线性倒向随机微分方程理论，该理论在很多领域都得到了很广泛的应用，例如随机控制，金融数学，偏微分方程理论等等。随着研究的深入以及倒向随机微分方程理论的发展，由倒向随机微分方程诱导的动态相容的非线性数学期望（g-期望[16]）在很多领域都有了重要应用，尤其是经济金融。Duffie、Esptein和Chen、Esptein利用g-期望处理金融模型中的Knightian不确定性（即模糊性）。随着信息经济学逐渐成为主流经济学不可分割的部分, 委托代理理论已成为经济金融学的研究热点。连续时间下委托代理问题的主要目标是在一定的约束下找到使委托人利益最大的最优合约。本质上，这是一个带约束的随机最优控制问题。在整个合约执行期间，委托人试图引导代理人执行与自己利益一致的行为。解决这样一个委托代理问题自然要用到处理随机控制问题的随机最大值原理和动态规划原理。本项目以随机控制理论为基础，深入研究Knightian模糊环境下的连续时间委托代理模型。具体地，Knightian模糊环境下的风险共担模型，考虑委托代理模型中的委托人和代理人对产出过程有模糊的情形，并且模糊性由g-期望来描述。在这个风险共担模型中，通过倒向随机微分方程的随机控制理论，得到了最优合约的最大值原理，即最优合约应满足的必要条件。其次，我们研究了平均场正倒向随机微分方程的最优控制问题，其中控制集非凸、终端状态被限制在一凸集中。利用终端变分技巧，采用对偶方法，有效的处理了控制非凸的受约束随机优化问题，并对得到的最优解的性质进行研究。平均场方程在很多领域有了广泛应用。对此问题的研究不仅丰富了倒向随机微分方程的最优控制理论，还有利于委托代理模型的发展。 我们还考虑了价格出现大量跳跃时的委托代理模型，模型中资产的价格过程不仅受布朗运动驱动，还受泊松过程影响。这时研究状态约束下带跳的正倒向随机微分方程的最优控制问题，其中带跳的正倒向随机系统中的正向终端状态被限制在一凸集中。我们还研究了相应的线性二次随机模型。这一模型的研究将为项目的进一步发展提供有力的理论工具。到目前为止，项目组已发表SCI检索期刊论文共2篇，EI检索会议论文1篇，另有一篇SCI论文被接收，还有多篇文章在投或修改之中。项目执行期间，项目负责人协助培养博士生1名，硕士生1名。