Ap权理论与算子在加权空间上的界的估计

In this program, we will study the quantitative weighted bounds in terms of the Ap constant for some important operators on weighted spaces with weights of Ap type. More precisely, we will establish the refined bounds for two classes of non-standard singular integral operators (singular integral operators with nonsmooth kernels and multiple-frequencies singular integral operators) . We will also establish the refined weighted bounds for some important rough operators, such as singular integral operator of Cohen type, general Calderon commutator with rough kernel, oscillatory singular integral operators with rough kernels and some others. Finally, we will consider the weighted bounds in terms of the multiple Ap weights for the bilinear singular integral operators with rough kernels, bilinear singular integral operators with non-smooth kernels and bilinear Fourier multiplier operators.

算子在带Ap权(或相关权函数类）的加权空间上的界的估计, 不仅能揭示算子深刻的分析性质,而且可以丰富和发展Ap权理论. 本项目旨在系统地研究调和分析中一些重要算子在加权空间上的界关于权函数的Ap常数的估计. 具体地, 我们将建立非光滑核奇异积分算子以及多频率奇异积分算子这两类非标准奇异积分算子在带Ap权的加权Lp空间与加权弱端点空间上的界的精细估计，建立带粗糙核的Cohen型奇异积分算子、广义Calderon交换子、带粗糙核的振荡奇异积分算子等一些重要的粗糙算子在带Ap权的加权空间上的界的估计; 研究带粗糙核的双线性奇异积分算子、带非光滑核的双线性奇异积分算子、乘子满足某种Sobolev正则性条件的双线性Fourier乘子算子等双线性算子在带多重Ap权的加权空间上的界与权函数的Ap常数之间的关系.

算子在带Ap权(或相关权函数类）的加权空间上的界的估计, 不仅能揭示算子深刻的分析性质,而且可以丰富和发展Ap权理论. 本项目实施4年来，我们围绕Ap权理论与算子在加权空间上的界的估计展开研究， 具体地, 我们研究了Calderon-Zygmund算子的复合算子、非光滑核奇异积分算子的复合算子等复合算子的稀疏算子控制， 并由此得到复合算子在加权Lp空间和弱端点空间上的界的估计；特别地， 建立了复合算子弱端点估计的一个一般准则；建立了粗糙算子（包括带粗糙核的Calderon交换子、 带粗糙核的Cohen型奇异积分算子）Lp估计、弱端点估计(核函数满足最小可积性条件), 建立了这些粗糙算子以及带粗糙核的Marcinkiewicz积分算子的双线性稀疏算子控制(核函数有界)，并由此得到了有关算子的加权空间上的界的估计； 研究了多线性乘子算子、多线性奇异积分算子在加权空间上的界与多重权的Ap常数的关系, 并得到了一些有意思的结果。 通过研究，某些长期存在的问题--如复合算子的端点估计准则、粗糙算子交换子的弱端点估计、核函数具有最弱可积性条件时Calderon交换子的Lp有界性等都得到了解决， 而且有关的方法和估计技巧会对后来的研究提供新的研究思路.