幂零李群上函数空间和拟微分算子有界性的研究

This project is devoted to the study of function spaces and pseudo-differential operators on nilpotent Lie groups. On graded nilpotent Lie groups, we will study the relation between Hardy spaces and Rockland operators, especially the equivalence between the characterizations via the radial maximal function, nontangential maximal function, Littlewood-Paley g-function and Lusin area function introduced in terms of the heat semigroup and Poisson semigroup generated by a Rockland operator. We will also study Besov and Triebel-Lizorkin spaces on graded nilpotent Lie groups, and their properties and characterizations. Then, we will study the boundedness of pseudo-differential operators, which are defined via representation theory, on Lebesgue spaces, Sobolev spaces, local Hardy spaces, Besov spaces and Triebel-Lizorkin spaces on graded Lie groups. On general nilpotent Lie groups, we will introduce pseudo-differential calculus in terms of sub-Laplacians and the spectral theory, and study the boundedness of such pseudo-differential operators on various function spaces.

本项目拟研究幂零李群上的函数空间和拟微分算子。对于graded李群，申请人拟研究其上的Hardy空间与Rockland算子之间的内在联系，特别是由Rockland算子生成的热半群和Poisson半群所定义的径向极大函数刻画、非切向极大函数刻画、Littlewood-Paley g-函数刻画和Lusin面积函数刻画之间的等价性。此外， 申请人拟在graded李群上引入的Besov和Triebel-Lizorkin空间，并研究它们的性质和刻画。然后，申请人拟研究graded李群上借助表示论所定义的拟微分算子在Lebesgue空间、Sobolev空间、局部Hardy空间、Besov空间和Triebel-Lizorkin空间上的有界性。对于一般的幂零李群，申请人拟通过其上的次拉普拉斯算子以及谱理论来引入拟微分算子演算，并研究这样的拟微分算子在各类函数空间上的有界性。

算子在函数空间上的有界性问题是调和分析领域关注的一类核心问题，这是因为数学和物理中的许多问题均可归结为算子在函数空间上的有界性问题。本项目主要研究幂零李群，特别是分级李群（graded Lie group）和分层李群（stratified Lie group）上的函数空间和拟微分算子的研究。我们在分级李群上，借助Rockland算子的泛函演算，给出了完全指标的Besov和Triebel-Lizorkin空间的合理定义，并得到了若干种等价范数刻画以及原子分解。我们还证明了分层李群上的一些特殊的拟微分算子，如振荡乘子在Hardy空间和Lebesgue空间上的有界性。此外，我们还研究了一些相关联问题，如分级李群上的傅里叶乘子、抽象算子的虚幂、分数次Hermite算子的薛定谔群等，得到了一系列结果。