非线性负指数椭圆型方程

非线性负指数椭圆型偏微分方程是自然界突变现象的数学模型，如著名的non-Newtonian fluids, boundary layer phenomena for viscous fluids, chemical heterogenous catalysts, in glacial advance, in transport of coal slurries down conveyor belts 都出现这种现象。为解决这些应用中所提出的问题，需要对该类方程进行系统研究。本项目研究指数范围是整个负实轴的非线性偏微分方程解的存在和多重性，利用近年来十分活跃的非线性方程的变分法，希望得到解的结构。因为相应的能量泛函有奇性（甚至没有连续性），这是一个困难的问题，已有的各种在群作用下使用的指标理论不在适用了，方法上需要创新。我们已经找到一个新的途径，力求取得突破，推动这一领域的发展。

非线性奇异椭圆型偏微分方程是自然界突变现象的数学模型，例如流体力学中边界层现象。我们研究强奇异偏微分方程取得了突破性进展，给出强奇异偏微分方程可解的充分必要条件，该结果发表在英国“爱丁堡皇家学会的数学进展”(Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Sect. A (2013))。我们首次揭示了－3在强奇异偏微分方程处于临界位置的原因，解决了奇异偏微分方程领域中基础问题，该结果发表在德国“变分计算偏微分方程”(Calc.Var.&PDE(2014))。我们研究凸几何分析Minkowski问题取得进展，建立了针对非连续数据Minkowski问题的可解性定理，证明了凸几何著名Blaschke-Santalo不等式的L^{1}数据版本。这是针对非连续数据和全体负数p的第一个可解性定理，该结果发表在美国“数学进展”“Advances in Mathematics” (AIM(2015))。