一些伪代数闭赋值域上的立即膨胀问题

Given two first-order structures A and B, if the first-order structure generated by A and any definable set on B with parameters has the same definable sets with parameters as B, then B is called an immediate expansion of A. For a field K, if every geometrically integral variety over K has a K-point, then K is called a pseudo-algebraically closed field. Pseudo-algebraically closed fields form an important and well-known class of fields in model theory. Based on an idea similar to that of Zilber's Trichotomy Conjecture and the phenomenon that the properties of valuation rings on a field are closely connected to the arithmetic on that field, this project aims to study certain classes of pseudo-algebraically closed valued fields to see whether their corresponding first-order structures are immediate expansion of their respective underlying first-order field structures. The classes of pseudo-alegbraically closed valued fields are the class of Omega-free valued Frobenius fields and the class of non-Omega-free valued Frobenius fields. In this project, for Omega-free valued Frobenius fields we might be able to prove that all the instances are immediate expansions; for non-Omega-free valued Frobenius fields, we hope to find as many examples and counterexamples of immediate expansions as possible. This project is a good part of an effort towards understanding valued pseudo-algebraically closed fields and the immediate expansion phenomenon.

同一个底层集合上的两个一阶结构A和B之间，如果B中的任何一个使用参数的可定义集和A所生成的一阶结构与B具有完全相同的使用参数的可定义集，那么我们就称B是A的一个立即膨胀。如果一个域K上的任何一个几何整的代数簇都有K有理点，则K被称为一个伪代数闭域。伪代数闭域是模型论中重要而且被熟知的一类域。基于与模型论中著名的Zilber三分律猜想类似的思想以及代数学中域上的赋值环和域上的算术之间的紧密联系的现象，本项目将研究某一些特殊的伪代数闭的赋值域的一阶结构是否是它们对应的底层域的一阶结构的立即膨胀。这些特殊的伪代数闭赋值域主要包含带任意赋值的Omega自由Frobenius域和带任意赋值的非Omega自由Frobenius域。本项目对于前一种更侧重于证明所有的例子都有立即膨胀现象，对于后一种则更侧重于寻找尽可能多的立即膨胀的例子和反例。本项目将为伪代数闭赋值域和立即膨胀现象的研究提供重要参考。

本项目中研究了一些伪代数闭赋值域上面的立即膨胀问题，这些伪代数闭赋值域主要是包含Omega-自由的伪代数闭赋值域和e-自由的伪代数闭赋值域。在本项目的执行期间，我们非常不幸地发现了我们自己工作中的一些错误，以及我们所引用的他人工作中的一些错误；这些错误再加上全球新冠状病毒疫情的影响，导致我们项目的执行不算顺利。虽然最后我们没有实现预期的目标，但是我们也在研究过程当中获得了一些相关的结果，包括更正了我们引用的他人结论中的错误，重新给出了非完美指数有限的ω-自由的伪代数闭赋值域上的可定义集的稠密性的结论的证明，获得了伪代数闭赋值域上的赋值环的可定义性和它的有限可分扩张上的赋值环的可定义性的等价性的证明和探索了具有“可定义的绝对赋值拓扑闭包性质”的赋值域的一般性质等等。这些工作和成果为与本项目相关的研究工作的开展积累了研究经验并提供了一定的方向指引。