奇摄动问题中的空间对照结构理论和非线性转点

具有空间对照结构（阶梯状解和脉冲状解）的奇摄动问题是奇摄动理论研究的主流, 而非线性转点问题被公认为是奇摄动研究中最困难的, 结果甚少。一方面，申请者发现空间对照结构和非线性转点有着密切的联系，对两者一起研究前景看好。另一方面，随着奇摄动理论和方法在自然科学各领域中的广泛应用,人们越来越多地遇到了出现空间对照结构和转点的困难。.本项目以空间对照结构以及转点问题为研究对象，采用申请者独创的"缝接法"进行基础理论研究，不但证明了这类问题解的存在性，构造了它们的一致有效渐近解，而且给出了余项估计，并揭示了空间对照结构解和转点之间的内在联系。 为进一步推进奇摄动的基础理论研究奠定了坚实的基础，也为奇摄动问题中的其它复杂现象的研究提供了新的思路。

本课题主要研究了高维奇摄动动力系统，其中包括临界情况奇摄动动力系统的空间对照结构理论及方法，在此基础上，讨论了奇摄动最优控制问题和奇摄动差分微分方程边值问题解的存在性和渐近解的构造，取得了一系列原创性的结果。我们主要采用了“多元缝接法”、“多尺度匹配法”以及“吹胀法”，有效地克服了非双曲平衡点带来的困难，得到了在非双曲平衡点附近解的动力学性态。本课题的主要创新之处在于把经典的渐近奇摄动理论和现代的几何奇摄动理论很好地结合起来，相辅相成，各取所长。我们不但证明了所讨论问题解的存在性，揭示了阶梯状空间对照结构和纯边界层解以及转点之间的内在联系，而且构造了原问题的一致有效渐近解，即真解的高精度近似解，给实际工作者提供了行之有效的渐近表达式，为进一步推进奇摄动的基础理论研究提供了新的方法，也为奇摄动问题中其他复杂现象的研究提供了新的思路。