李超代数及其量子化中若干问题的研究

In this project, we will focus on some problems on structure theory and representation theory Lie superalgebras and their quantization...On structure theory：We will compute the homology group of generalized ortho-sympletic Lie superalgebras and generalized Peripletic Lie superalgebras by using Hochschild-Serre spectral sequences. Then we will determinate the relationship between the homology groups of these Lie superalgebras and the (skew) dihedral homology groups of associative superalgebras...On representation theory: On one hand, we will use the free fields to construct a family of highest weight representations with finite-dimensional weight spaces for affine Lie superalgebras, and obtain the necessary and sufficient conditions for the representations to be irreducible. On the other hand, we will establish the first and second fundamental theorems of invariant theory for quantum Queer superalgebras.

本项目主要研究李超代数及其量子化在结构方面和表示方面的若干问题。..结构理论方面：利用Hochschild-Serre谱序列去计算广义正交辛李超代数和广义Periplectic李超代数的高阶同调群，确定其与结合超代数上（斜）二面体同调群之间的关系。..表示理论方面：一方面，利用自由场实现去构造仿射李超代数的权空间有限的最高权表示，并给出它们不可约的充分必要条件。另一方面，我们将建立量子Queer超代数不变量理论中的第一、二基本定理。

在本项目中，我们通过研究量子Queer超代数的量子坐标超代数，建立了量子Queer超代数的Howe对偶，并基于此重新证明了量子Queer超代数的Sergeev-Olshanski对偶。这些结果也为后期刻画量子Queer超代数的不变量理论奠定了理论基础。于此同时，我们也刻画了从量子Queer超代数Schur-Weyl对偶衍生而来的几乎胞腔代数和拟遗传代数之间的关系，引进了广义Queer超代数并研究了它的泛中心扩张，具体刻画了广义Queer超代数的二阶同调群。在本项目中我们也建立了基本型李超代数的量子超代数的Harish-Chandra同构定理，并利用泛 R-矩阵我们还构造了量子超代数中心的一组基，相关的研究结果也为构造量子超群的不变量理论以及量子仿射超代数的Harish-Chandra同构定理提供了理论支持。