连续选择理论在s反射空间研究中的应用

Research on s-reflexive spaces is a new topic in topology with background of the invariant subspaces problem in functional analysis, and the theory of continuous selections is one of the classical research field in general topology. In the present project, we intend to combine the two different research branches, especially, to study s-reflexive spaces by means of the known results in the theory of continuous selections. The main research contents are s-reflexivity of metric spaces and topological properties of self-selective spaces. The project provides not only a new method of the study of s-reflexive spaces, but also new research impetus of continuous selections. In the following three years, our objects are to build a young research team on the frontier of related research fields, to solve several key questions in part, and to publish 6-9 papers in influential journals.

关于s反射空间的研究是以泛函分析中不变子空间问题为背景的拓扑学新课题，连续选择理论是一般拓扑学的经典研究方向，本申请项目拟结合这两个不同的分支进行研究，特别是应用连续选择理论中的已有结果对s反射空间进行研究，重点研究内容为度量空间的s反射性质和自选择空间的拓扑性质。课题既为s反射空间的研究提供新方法，又为连续选择理论提供新的研究动力。三年中，建成一支相关领域前沿的青年研究队伍，解决或部分解决几个关键问题，在SCI或国内权威刊物上发表论文6-9篇。

本项目是结合连续选择理论和s反射空间研究的交叉课题，侧重于通过应用连续选择理论中的已知结果对s反射空间进行研究，主要内容包括度量空间的s反射性质和自选择空间的拓扑性质。三年来，我们围绕项目中所列的关键问题，通过深入学习和研究连续选择理论，并将其应用到有关自选择空间和s反射空间中，获得了系列研究成果，解决或部分解决了项目关键问题。具体包含：（1）证明了紧序数空间ω1+1、序列扇空间和序列梳空间都不是自选择空间；定义了一般的Y选择空间并证明L选择性质与Sω选择性质、S2选择性质都是等价的。（2）证明了每一L选择空间都是α1的，并给出例说明并非所有α1空间都是L选择空间（自选择空间），以及自选择空间未必是第一可数的。（3）证明了每一W空间和GO空间都是C选择空间，以及Q选择空间等价于每一可数度量选择空间；在连续统假设下，给出一个可数的L选择空间而不是Q选择空间的例。（4）证明了定义在拓扑加群上的连续周期函数的所有周期构成一个闭子群，作为应用，给出了定义在实数集和复数集上的连续周期函数的分类。此外，我们还就本项目所涉及的广义度量性质及其在拓扑代数结构中的表现做了一些研究，深化和推广了自由拓扑群和自由仿拓扑群理论中有关广义度量性质方面的部分结果。