集合划分上的模式与统计量研究

Set partition is an important object in combinatorics, with the universal applications into other subjects such as quantum mechanics and biological mathematics, the studies on set partitions have become more and more active during the past decades. The research on it always including the problems of the distribution of statistics on it, pattern avoidance enumeration, the algebra structure, asymptotics on set partitions, generating set partitions, the relations between normal orderings and set partitions, etc. In this programme, we mainly focus on the enumeraction of patteen avoidance on flattern set partitions, the classification of equivalence classes on sparse set partitions, the pattern count on restricted set partitions and the construction of Eulerian and Mahonian statistics on set partitions. Through the implementation of this project, we hope not only to find the distribution of patterns and statistics on set partitions, but also promote the development on this field and strengthen the connection with other subjects.

集合划分是组合数学中一个重要的研究对象，近几十年来，随着划分理论在其他学科的广泛应用比如量子力学和生物数学，使得对集合划分的研究成为组合数学界一个非常热点的课题。该领域的研究问题主要包括集合划分上统计量的分布，避免模式的计数问题，划分的代数结构特点，划分结构上公式的近似计算，划分的生成算法，正规排序与划分的联系等方面的内容。在本项目中，我们主要研究平铺表示下划分的避免模式计数，稀疏集合划分的模式等价分类，有禁集合划分上的模式总数计数，以及在集合划分上构造新的欧拉和麦克马洪类统计量。通过项目的实施，我们希望能不仅完善集合划分上模式的分布，且进一步促进该领域的发展，深化与其他学科的联系。

本项目旨在计算在给定限制条件下的集合划分与排列上统计量的分布。本项目的主要研究内容及成果如下：1、研究了排列在Bruhat序下序理想U上的两个Mahonian统计量—排序指标和逆序数同分布的充分条件，同时给出了B型排列偏序集的序理想上这两个统计量同分布的充分条件；2、研究了有禁排列上的模式总数的计数，得到了多重受限排列上所有长度为3的子模式的总数公式；3、研究下降多面体上性质的组合证明方法，给出了一个xy字的分解与它的逆字分解之间的一一对应，同时提供了交错下降多面体的面数与某种赋权有序分拆以及格路之间的一一对应；4、研究正整数n的特殊二次型表示，利用三个二维theta函数的(p;k)参数化形式，我们得到了五个n的表示方法数的确切公式；5、我们定义了parking 函数上的一个新的霍普夫代数，给出了形式基{Ma}, 利用莫比乌斯反演得到了另一个基{Qa}，并且证明了该代数的自由性；6、研究D型排列上的超越数分布，我们得到了B型超越数，稳定点和圈这三个统计量在D型排列上的联合分布的递推关系，从而给出了带符号超越数在D型排列和D型错排上的精确公式。