分数阶扩散方程组的斑图生成问题与仿真研究

The investigations for pattern formation of fractional diffusion equations have been always difficult work in the field of partial differential equations. In recent years due to the rapid development of computing power, the analytical results of fractional diffusion equations can be verified by numerical simulations. Computer is not only a numerical simulation tool, but also provides new ideas for nonlinear phenomena and theoretical analysis in the equation. This project takes a general class of fractional diffusion equations as the research object, and studies the theory of pattern generation from two aspects of theoretical analysis and numerical simulation. On the one hand, perturbation analysis, multi-scale analysis and central manifold theory are used to deduce the equations of the amplitude of the equations for the theoretical prediction of the conditions and geometrical properties of the generated regular patterns; On the other hand, Faedo-Galerkin method and adaptive multi-resolution finite volume method are used to establish the numerical solution of the efficient convergence of the equations and to verify the accuracy of the amplitude equation. Because the current multi-scale analysis tools can only achieve a finite-order slow time scale, numerical simulation can study the stability of the pattern on a large time scale and further open up the range of research that can not be achieved by theoretical analysis. The research of this project will further improve and develop the nonlinear dynamics theory and method of fractional diffusion equations.

分数阶扩散方程组斑图生成问题的研究，一直是偏微分方程理论中的一项困难工作。近年来由于计算机运算能力的飞速发展，分数阶扩散方程组的分析结果可以得到数值模拟的验证。计算机不仅是数值模拟工具，也为方程中非线性现象和理论分析提供新的思想。本项目以一类普遍的分数阶扩散方程组为研究对象，从理论分析和数值模拟两方面研究斑图生成理论。一方面用微扰分析、多尺度分析、中心流形理论推导方程组的振幅方程，为斑图生成的条件以及几何性质做出理论预测；另一方面用Faedo-Galerkin方法、自适应高分辨率有限体积法建立方程组高效收敛的数值解，检验振幅方程的精确性。由于目前的多尺度分析工具只能做到有限阶的慢时间尺度， 数值模拟能够研究大时间尺度下斑图的稳定性，进一步开拓理论分析所不能达到的研究范围。 本项目的研究将进一步完善和发展分数阶扩散方程组的非线性动力学理论和方法。

在经典的反应扩散系统中，扩散服从的是布朗运动，即运动的均方位移与时间成正比。当均方位移与时间的分数阶次方成正比时，反应扩散系统可以推广为分数阶反应扩散方程组。在物理、化学和生态学领域，有实验证据表明很多运动服从分数阶扩散，分数阶反应扩散方程组的研究具有很强的实际意义。本项目研究了该方程组解的存在性，数值解的存在性和稳定性，解的稳定性和分岔理论。首先将分数阶导数的特征函数作为一组正交基，找到解在这组基下的投影，即可构造弱解的表达式。借助Faedo-Galerkin方法构造一组序列，利用该序列自身的单调性和紧性可以证明解的存在性。其次，依据有限体积法构造自适应高分辨率的数值解，该方法能够适应各种复杂的几何区域和边界条件。构造多层嵌套可容许网格，借助改进的有限元方法中的Galerkin公式，给出离散问题Petrov-Galerkin公式可以证明解存在并且收敛，同时估计出收敛速度。最后，利用稳定性分析找到生成霍普夫分岔和图灵分岔的参数空间，以及图灵斑图的波长与分数阶导数的色散关系。根据特征值理论，找到使得正平衡点特征值为0的参数值，该分岔点即为斑图生成的激发点。将图灵分岔点附近的解以正交模为基进行分解，找到每个模的振幅，即解在正交模空间的坐标。在分岔点附近，振幅的稳定性是由慢时间尺度所决定的，慢模被称为主动模。将时间分解成快时间尺度和各阶慢时间尺度的总和，得到振幅的定量关系，推导出模随时间演化的方程，也被称为振幅方程。可以证明图灵分岔的慢模仅仅与二阶慢时间尺度相关。利用振幅方程，得到条形图纹和六边形图纹之间斑图选择的切换阈值。方程组所有主动模振幅的范数是相同的，即图灵波数目。每个振幅可以用模和相位角来表示，对于振幅方程使用微扰分析，可以得到空间斑图的稳定性。 本项目的研究可以完善分数阶扩散方程组的解的理论，并且提出研究该方程组斑图动力学的基本方法。