Blotzmann输运方程的高精度保正加速方法

Developing acceleration schemes with high - order accuracy and positivity - preserving property is an important and challenging issues for the numerical solution of Boltzmann's transport equation. The applicant and the collaborators constructed arbitrarily high order accurate and preserve the positivity rotation limiter. In the simulation of radiative transfer equation, we proposed a positivity - preserving scheme by using a combination of linear scaling limiter.. This project aims to propose schemes with high-order accuracy and positivity - preserving to accelerate the iterative methods for solving Boltzmann's transport equations. When the diffusion synthetic acceleration (DSA) method is employed, we plan to solve the diffusion equation using local discontinuous Galerkin method and reconstruct the unknowns on the boundary. Our purposes is to get a discrete model that satisfy the demand of consistent in DSA. Since the S2 synthetic acceleration method is equivalent to DSA in one dimensional space, we consider how to develop a scheme with high order accuracy and can preserve the positivity. Additionally, we plan to extent higher order implicit method for time discretization and combine the positivity-preserving limiter with the traditional total variation bounded or weighted essentially non-oscillatory limiters to eliminate the localized spurious oscillations near the non zero discontinuities in the numerical solutions.

构造Boltzmann输运方程高精度保正加速方法是科学计算中一个主要且具挑战性的问题。项目申请人及合作者提出了一类具有高阶精度保正旋转限制器，并结合线性缩放限制器构造了辐射输运方程高阶精度的保正算法。. 本项目拟在已有研究基础上，将加速方法和高阶保正算法相结合，构造Boltzmann输运方程高精度保正加速算法。在扩散综合加速方法中，利用局部间断有限元方法求解扩散方程并研究扩散方程的保正算法；重构单元边界上未知量使得扩散方程和输运方程两者间的离散能够满足相容性条件。在一维空间中，利用S2综合加速方法与扩散综合加速方法的等价性，研究构造S2方程相应的高精度保正算法。建立和时间变量高阶离散相对应的保正算法，以及将传统的非振荡限制器和保正限制器结合以消除数值解在非零间断点附近的局部非物理振荡，是本项目的另一方面研究内容。

本项目主要研究如何保持中子输运方程数值方法数值结果的正性。因为负值的角通量没有物理意义且容易导致求解过程不收敛。本世纪初，美国核能协会指出设计保持正性的数值方法是求解中子输运方程的一些重要内容。. 采用源迭代求解在每个离散方向上求解耦合的方程组，理论上可以证明线性间断有限元求解输运方程在光学厚区域容易导致负值解。修正的线性间断有限元方法中，当试验函数和检验函数在同一函数空间时，得到的参数固定，理论上也可证明容易出现负值解。 本项目结合离散纵标方法和线性间断有限元方法分别离散中子输运方程中角度变量和空间变量，在空间离散时，我们在检验函数空间中引入参数，通过要求保证角通量正性在每个单元上自适应确定相关参数，从而使得数值结果保持正性。相关成果“Positivity-preserving scheme with adaptive parameters for solving neutron transport equations in slab geometry”发表在期刊Indian Journal of Physics。. 缩放限制器和旋转限制器是求解输运方程两种保持正性的有效方法；但前者要求单元积分平均或输出角通量非负，而后者在求解高维问题只适合矩形或立方体剖分，从而限制了其使用范围。采用Roe数值通量，守恒型数值方法求解多介质输运方程容易得到单元积分平均和输出角通量同时为负，从而缩放限制器无法使用。本项目研究线性间断有限元求解多介质输运方程时的保正算法。对二维物理空间采用非结构三角形剖分，在缩放限制器失效时，根据输出变量和输入变量的关系，修正输出变量使之保持正性再进行缩放限制从而保证数值结果正性。该项成果投稿Annals of Nuclear Energy ，目前处于审稿后返回修改。 . 迭代方法加速也是输运方程数值求解另一个重要内容。本项目研究了一种非相容的扩散综合加速方法，该方法减弱扩散方程和输运方程离散相容性要求，通过傅里叶分析方法确定其中的阻尼因子，相关成果发表在《数学的实践与认识》。. S2综合加速方法是一种常用的加速方法，不需要满足输运方程和扩散方程两者之间离散的相容性。该方法属于源项修正，因此如何保证S2方法结果的正性是重要的，我们研究利用中心差分方法离散S2方程，在离散模版中引入参数，通过选取参数保