浅水波方程的高分辨率格式设计及其自适应加速技术

The project studies high resolution numerical scheme for the shallow water equations and its adaptive acceleration technology. Three properties will be considered: First, the scheme should be at least second order accuracy for smooth problem; second, the scheme should satisfy the well balance property, namely the numerical solution converges to and preserve the steady state; and third the scheme can adaptively capture the wet-dry front. Concretely, we will design of positive preserving generalized Riemann problem scheme, build a two dimensional wet-dry interface capturing method, propose a new positive preserving scheme framework namely draining time method, and generalize the space variable coefficient finite volume evolution Galerkin scheme to shallow water equations. The adaptive acceleration technology of shallow water equations is another goal of the project. Grid winding problem is again a research direction as a continuation of my Youth Fund; secondly we consider how to ensure well balance property, the mass conservative property and water depth positive preserving property under adaptive moving meshes. The accelerating effect of adaptive moving mesh method will be studied.

本项目研究浅水波方程的高效数值算法及其自适应加速技术。浅水波方程在二维一般计算区域上的数值格式的三个性质将是本项目考虑的重点：格式的数值二阶精度、格式的和谐性，即保证数值解能够收敛到稳态解，和格式对于处理干湿界面问题的适应性。具体来说，就是保正广义黎曼问题格式设计、捕捉二维干湿界面的格式设计、Draining time保正格式框架搭建以及变系数有限体积发展Galerkin格式的推广。浅水波方程的自适应加速技术是本项目的另一个目标。作为青年基金的延续，网格缠绕问题仍然是本项目的一个研究方向；其次考虑网格移动过程中和谐性的保证，以及总水量的守恒和单元水量的保正性。在此基础上研究移动网格对于模拟的加速效应。

浅水波方程在河流、湖泊，海洋以及天气预报等领域都有着广泛的应用。本项目计划研究浅水波方程的高效数值算法及其自适应加速技术，尤其是格式的和谐性与保正性。当底部近似成一个连续函数的时候，项目组已经有一些前期准备工作。底部离散成一个离散函数是目前的主流方法，尤其是Audusse的静水重构技术（HR）。然而文献中发现了这种经典的方法具有一些缺陷，对于半淹没情况的时候，并不能给出符合物理规律的数值结果。在本项目的支持下，项目组和其合作者设计了一种改进的静水重构技术。这种改进是从根本的框架入手的，我们称之为子单元静水重构技术，其很好解决了经典的HR方法的缺陷，得到了符合物理规律的数值结果。其成果发表在了国际顶级期刊SIAM journal of numerical analysis。