解析函数的分形边界性质研究

We consider the function f(z) that analytic on the unit disc D and continuous on the bounadry L. Let S denote the boundary of f(D)，we say that the function f has the Cantor boundary behavior if the preimage C of S is a Cantor type set. We have got some results in CBB research, this item is the continuous study of CBB, we will mainly consider the following questions: (1).studying the measure of Cantor type set C；(2).studing the CBB property of Cauchy transform of Huasdorff measure on fractal set；(3).studying the dimension of image boundary of CBB function；(4).studing the sufficient conditions and necessary conditions of CBB and the relationship between CBB and function spaces；

我们考虑单位圆盘D上解析且连续到边界L的函数f(z). 记f(D)的边界为S, 如果S的原像C是一个Cantor型集，则称f具有Cantor边界性质(简称CBB). 我们已在CBB 这一研究领域取得了一定的研究成果，本项目继续深入探讨CBB. 主要研究以下问题：1.探讨 Cantor 型集C的测度问题；2. 探讨更多分形集上Hausdorff测度的Cauchy变换的CBB性质；3.研究CBB 函数的像区域边界维数问题； 4.CBB的充分条件和必要条件以及CBB与函数空间的联系研究.

本项目主要研究解析函数的Cantor边界性质及相关问题，它是由董新汉教授和刘家成教授提出并详细研究。项目负责人和参与人在此项目的资助下继续深入研究Cantor边界性质及相关问题。取得了如下主要研究进展：1. 给出了函数具有Cantor边界性质但Cantor集测度为零的一个充分条件，这是Cantor集测度研究的重大突破；2. 证明了黎曼函数在某些条件下满足Cantor边界性质，丰富和充实了Cantor函数类；3.在Cantor边界性质和SLE以及函数空间的研究中，我们证明了Dirichlet型空间的Cesaro算子的有界性和紧性的充要条件，给出了Loewner方程中切向裂纹所对应驱动函数的精确解；4.研究了平面上自仿Tile和自仿集的连通性问题，给出了一些特殊分形集连通的充条件；5.研究了高维连续共线性自仿测度的谱性问题，给出了其测度为谱测度的充分条件。