介质不连续性的反演方法及其数值实现

Detecting interior structure of the medium from exterior measurements is an important inverse problem of mathematical physics.When the medium has discontinuities, this problem becomes quite difficult. Inverse scattering of wave fields and heat conduction are two widely applied models of reconstructing the medium discontinuities, such as cavities, inclusions or cracks. Mathematically, they are formulated as inverse problems for partial differential equations of elliptic and parabolic types. This project is concerned with the following two problems. First, we consider an inverse scattering problem for obliquely incident electromagnetic waves by an impedance cylinder. In the framework of the probe method, we construct the Green function of the oblique boundary value problem governing the direct scattering problem, and analyze its singularity with point-wise estimate. Then we develop a regularization method for reconstruction of the scatterer and the boundary impedance from measurement data of electric or magnetic field. Moreover, we will also analyze the influences of the incident angle and the impedance coefficient on the accuracy of the numerical reconstructions. Second, based on the model of heat conduction in medium, we study the linear sampling-type method for reconstructing unknown inclusions inside a heat conductor from boundary measurements. The key is to establish the uniqueness and existence for the interior transmission problem of the parabolic equation, by using the theory of abstract Cauchy problem. This project will develop some new mathematical methods for other medium imaging problems based on PDE models.

利用外部测量数据探测介质的内部结构是一类重要的数学物理反问题，当介质内部具有某种不连续性时，这类问题数学上变得特别困难。波场逆散射和热传导是重构介质不连续性(如异物、空腔和裂缝等)的两种被广泛采用的检测模型，数学上分别对应于椭圆型和抛物型偏微分方程反问题。本项目研究两个方面的内容：其一，以阻尼型柱状散射体的斜入射电磁波逆散射为模型，在探测方法的框架下，利用斜导数边值问题Green函数的奇异性和逐点估计，研究由单一的电场或磁场测量数据重构散射体几何形状及边界阻尼系数的正则化方法及其数值实现，并分析入射角度及阻尼系数对边界重建精度的影响；其二，以介质热传导为模型，研究利用温度场的边界测量数据重建介质内部未知异物几何形状的线性抽样方法，核心是运用抽象Cauchy问题的可解性理论，建立抛物方程內透射问题解的存在唯一性。本项目的研究将为其它基于偏微分方程的介质成像问题提供新的数学方法。

利用外部测量数据探测介质的内部结构是一类重要的数学物理反问题，波场逆散射和热传导是两种被广泛采用的检测模型，数学上分别对应于椭圆型和抛物型偏微分方程反问题。本项目主要研究以下几个方面的内容：一、对带阻尼边界条件的无限长柱状散射体的斜入射电磁波逆散射问题，建立了仅由电场的远场数据重建散射体几何形状的数值方法，给出了严格的数学证明，并进行了数值实验，数值结果证实了算法的可行性和有效性；二、提出了由边界温度分布重建介质内部空腔或异物的数值方法，分析了算法的收敛性，并对二维情形给出了详细的数值实现方案，数值结果表明算法具有很好的精度和稳定性；三、对带斜导数边界条件的Helmholtz边值问题描述的潮汐波散射，证明了正散射问题的适定性，格林函数的对称性以及散射数据的互易原理；而对相应的逆散射问题，证明了由远场数据重建散射体的唯一性，并建立了稳定的数值方法，数值结果进一步验证了算法的有效性；四、对一类分数阶导数描述的积分微分方程，利用不动点理论，建立了由积分型测量数据同时反演方程中的核函数和源项的全局唯一性和存在性。..围绕以上研究成果，项目组已发表8篇标注基金号的SCI论文，其中2篇发表于《SIAM J. Appl. Math.》，3篇发表于《Inverse Problems》，并有一篇发表于《Inverse Problems》的文章被该杂志评选为“年度亮点”（Highlight）。项目研究期间，主办了2次反问题学术会议，参加国内外学术会议并作报告十余次，并邀请了几位国际反问题研究专家来华交流与合作。