分数次椭圆型方程解的集中现象

In this project, we mainly study concentration phenomena of solutions for the fractional elliptic equations. The main objective is to investigate the existence and asymptotic behavior of the least energy solutions, thus to obtain the exact characterization of concentration property of the least energy solutions and to construct multi-peak solutions for fractional Neumann problems, to construct peak solutions for the critical fractional Hénon type equations. Up to now, there are few results on these problems. It is very difficult to apply the existing theoretical framework directly to these equations. To do this, we need to develop new mathematical tools and present new idea and techniques in order to solve these problems. Our research will greatly enrich the existing theory of calculus of variation and elliptic partial differential equations.

本项目主要研究分数次椭圆型方程解的集中现象。主要研究目标：研究分数次Neumann问题极小能量解的渐近行为，从而得到极小能量解的集中性质的精确刻画，构造分数次Neumann问题的多峰解，构造临界分数次Hénon型方程的波峰解。到目前为止，关于这些问题的研究结果还很少。已有的理论框架很难直接应用到这种类型方程。为此，我们需要发展新的数学工具，提出新的解决问题的思路和技巧。我们的研究将会极大地丰富变分学和椭圆型偏微分方程的现有理论。

在本项目中, 我们主要研究了分数阶Nirenberg问题与Hénon 型问题解的集中性质. 具体来说, 我们主要研究了以下五类非线性椭圆问题:.(1). 我们研究了黎曼几何中的分数阶Nirenberg问题. 在关于曲率的一定条件下, 我们得到了这类问题集中解的存在性;.(2). 对于超临界Hénon问题, 我们构造了具有泡泡塔的変号解, 并且这些解集中的位置离原点很接近; 另外, 对于几乎临界Hénon问题, . 我们也构造了具有泡泡塔的正解, 并且这些解集中的位置在原点附近;.(3). 我们研究了一类临界Hénon-like问题, 得到了无穷多个双边峰解的存在性, 并且这些解分别集中在区域的内边界与外边界;.(4). 我们还研究了一类变指数的超临界椭圆问题, 利用变分方法, 我们得到了具有任意k个结点変号解的存在性..(5). 我们考虑了一类带有竞争幂次的非线性椭圆问题, 在关于竞争指标的一定条件下, 我们构造了变号泡泡塔解;.我们的研究结果揭示了分数阶椭圆问题与Hénon 型问题解的集中现象, 在很大程度上改进了以前结果, 对于研究其它相关问题具有参考价值.