二维非等熵可压缩Navier-Stokes和MHD方程的适定性问题研究

Navier-Stokes equations and MHD equations are important nonlinear differential equations in fluid dynamics. There are strong physical background and sense for both Navier-Stokes equations and MHD equations, whose mathematical study is one of the main topics in the area of nonlinear analysis. This subject will study the well-posedness for two-dimensional non-isentropic compressible Navier-Stokes equations and MHD equations. The main contents include: when the initial density contains vacuum (may have compact support), we will discuss the local existence and uniqueness of strong(or classical) solutions to the two-dimensional non-isentropic compressible Navier-Stokes equations and MHD equations, and then study the global existence and large time behavior of the strong(or classical) solutions under some smallness conditions on the initial data.

Navier-Stokes方程和MHD方程是流体动力学中重要的非线性偏微分方程，具有很强的物理背景和重要的理论意义，其数学理论的研究是当今非线性学科研究的重点和热点之一。本项目主要研究二维非等熵可压缩Navier-Stokes和MHD方程的适定性问题，具体内容包含：当初始密度含真空时（允许具有紧支集），研究二维非等熵可压缩Navier-Stokes方程和MHD方程Cauchy问题的强解（或古典解）的局部存在唯一性，讨论当初值具有某些小性假设条件下强解（或古典解）的整体存在性和大时间行为。

本项目研究初始密度含真空的Navier-Stokes方程、MHD方程等流体动力学方程解的适定性问题。当初始密度允许真空时，Navier-Stokes方程等流体动力学方程具有退化性(真空出现时)、奇异性和强非线性性，解的适定性研究存在本质困难、是非线性科学研究的热点问题之一。.本项目的具体研究内容和重要结果如下：.1、允许初始密度含真空，研究了粘性依赖密度的一维可压缩Navier-Stokes方程大初值古典解的整体存在性和大时间行为，得到了密度的一致上界估计。.2、允许初始密度含真空，无需假设Planck常数具有下界，证明了具退化粘性的三维带量子效应的可压缩Navier-Stokes方程周期边值问题大初值弱解的整体存在性。.3、允许初始密度含真空，证明了二维非齐次不可压缩Navier-Stokes方程和MHD方程的Cauchy问题大初值强解的局部存在唯一性、整体存在性和大时间行为。.4、允许初始密度含真空，研究了三维非齐次不可压缩Navier-Stokes方程、MHD方程和液晶系统的Cauchy问题，证明了大初值强解的局部存在唯一性、小扰动强解的整体存在性和大时间行为。.本项目的研究丰富并完善了流体动力学方程初值含真空问题解的适定性结果，有着重要的理论价值。..