无网格法在复杂流动不连续问题中的应用

本项目将以聚合物成型的冷却过程为模拟对象，建立能简单有效地模拟涉及相变、固化成型、复杂传热等复杂不连续问题的数值计算方法，从而模拟聚合物成型冷却过程中，模具型腔内聚合物的温度变化以及不连续区域处的宏观力学行为。.本项目的主要创新是基于扩展有限元法的思想基础上，系统研究无网格法在复杂流体不连续问题中的应用及如何提高无网格法的计算效率，发展适合求解复杂流体不连续问题的无网格法。本项目的研究成果将为面向聚合物成型过程的模拟，建立求解涉及相变、固化成型、复杂传热等领域的复杂不连续问题的计算方法，解决目前商用软件及文献中对上述问题难以模拟的问题，为聚合物动态成型过程与制品性能预测的一体化研究奠定基础。.本项目的研究，将十分重视吸纳数学、力学、传热学和化学工程的先进研究成果。因此，在理论研究与实际应用相结合、计算数学与工程应用相结合的基础上，具有明显的学科交叉与融合的特征。

相对于有限元等基于网格的传统数值方法，无网格法在求解某些问题时具有极大的优势，但也有一些不可忽视的缺点，严重制约和影响了无网格法的发展和应用。针对这一研究现状，本项目从如下两个方面开展了一系列的研究。.一、针对Galerkin型无网格法计算效率低的缺点，提出了一系列提高Galerkin型无网格法计算效率的改进方法。首先将无网格节点的影响域由传统的矩形和圆形推广到任意凸多边形，通过选取适当的节点影响因子，避免了节点搜索问题，减少了系统刚度矩阵的带宽，且当节点影响半径因子为1.01时，无网格节点的形函数几乎具有插值特性，从而克服了无网格法难于施加本质边界条件的困难，这些优点都适当地减少了无网格法的计算时间。在此基础上，其次针对非稳态热传导问题，分别研究了基于精细积分、最佳正交分解和质量矩阵集中技术的无网格法。研究表明：上述三种方法在保证计算精度的同时，均可大幅度提高Galerkin型无网格法的计算效率。.二、针对Galerkin型无网格法求解不可压流动问题时遇到的因速度、压力近似不当而引起的速度场振荡和压力场振荡等问题，提出了一系列的解决方案，其中重点研究了基于变分多尺度思想的无网格Galerkin法。对对流占优问题，仔细研究了现有的Galerkin型无网格法在解决此类问题时的一些常用方法，比较了这些方法的优缺点。研究发现：在有限元框架下发展起来的稳定化方法(如SUPG等)可以直接应用于无网格法，但稳定化因子的选取和构造需特别关注，且对解的影响非常大。通常情况下，不同问题需要选取不同的稳定化因子，因而这些稳定化方法不具有普适性。为解决稳定化因子选取和构造的困难，基于变分多尺度思想，提出了变分多尺度无网格Galerkin法。该方法在变分多尺度思想的框架下，通过泡函数可自动得到稳定化因子，同时还保证了相容性。对不可压流动问题，为解决Galerkin型无网格法的速度和压力失耦问题，进一步研究了变分多尺度无网格Galerkin法在这些问题中的应用，特别是在复杂区域中的应用；同时还将该方法拓展到非等温不可压流动问题、非牛顿流体流动问题、多孔介质流动问题和高Hartmann数磁流体流动问题的研究。结果表明：在速度和压力采用等线性基函数近似时，该方法能有效地避免速度-压力失耦问题。 .通过上述各方面的研究，本项目为推动无网格法的大规模计算和其在流体动力学中的应用提供了必要的理论基础。