黎曼流形上椭圆算子的谱估计

The spectrum theory on Riemannain manifolds is closely related to many of fields of science, such as differential geometry, partial differential equations, stochastic process, mathematical physics and so on. Therefore, research of the corresponding problem is a very popular topic among the domestic and overseas mathematician recently. In this project, the scope of research will be the complete Riemannian manifolds, mainly considering three kinds of constant curvature space; As the main research objects, we would like to involve in some special elliptic operators, including Laplacian, bi-Laplacian, Shrodinger operator and so on; The background of studies will be the Dirichlet problem, Newmann problem and the closed eigenvalue problem which are represented from differential equation，geometry, physics and so on; Its purpose is, based on former work, to consider the estimates for the lower and upper bounds, to establish the universal inequality of Yang type, to discuss the gap and ratio between the consecutive eigenvalues, and to investigate the inequality of the Rayleigh-Faber-Krahn type of the clamped plate problem. In addition, we would like to extend those related results to the general elliptic operators.

黎曼流形上的谱理论与微分几何，偏微分方程，随机过程，数学物理等众多学科领域有着密切的联系，因此相关问题的研究目前是国内外的热点课题。本课题的研究范围是针对完备的黎曼流形，重点围绕三种常曲率空间形式展开；主要的研究对象是黎曼流形上的几类特殊的椭圆算子（包括Laplace算子，二重Laplace算子，Shrodinger算子等）; 研究的背景是从微分方程，几何，物理等角度提出来的相关的Dirichlet问题、 Newmann 问题以及闭特征值问题; 其研究目的是在前人的工作基础之上，考虑上述问题的椭圆算子的特征值的上下界估计，建立起对应的Yang型不等式，讨论相邻两个特征值的间隙以及相邻两个特征值的比率，研究Clamped plate问题所对应的Rayleigh-Faber-Krahn型不等式。同时，拟将这些相应的结果拓展到更一般的椭圆算子上去。

黎曼流形上的椭圆算子的特征值与几何结构，偏微分方程，随机分析以及数学物理等领域密切相关。 因此，对研究黎曼流形上的一些特殊的椭圆算子的第一特征值，高阶特征值的研究，是十分的重要。本项目主要是紧紧围绕这些问题进行展开，并且获得了相应的成果。首先，研究了欧式空间的多调和算子的Dirichlet问题的前k个特征值和并且给出了下界估计，该结果在阶数的意义下是最优的；其次，研究了完备光滑度量测地空间上的带漂移项的Laplacian的Dirichlet问题的特征值，获得了Yang型不等式，应用该结果，获得了一些积流形上的特征值估计，同时，根据几何刚性结果，获得了Ricci Solitons以及Self-shrinkers上的特征值估计；再次，本项目研究了完备黎曼流形上Laplace算子的相邻特征值的间隙估计，并且获得一些上界估计；最后，我们也研究了完备光滑度量测度空间上的泛函不等式，利用这些泛函不等式，给出了带漂移项的Laplace算子的特征值的估计以及完备度量测度空间上的抛物热核的一致估计。