有限群中元素共轭类数量性质的研究

Some quantitative properties about conjugacy classes are one of the important subjects covered by finite group theory. It is noteworthy that the conjugacy class sizes, the set of conjugacy class sizes and the structure of a finite group are closely related and linked. In this project, we concentrate on the investigation of their mutual relationships, the research content are as follows:. 1. We will investigate the conjugacy class sizes of some elements(for example, p-regular elements, prime power order elements and so on) containing more prime factors by the relationships of the conjugacy class sizes and the irreducible character degrees. While, we also study the structrue of a finite group when the minimal class size or maximal class size is a special number; . 2. We may determine the structrue of a finite group when all class sizes have special quantitative properties, and study the relathionships between the set of G-conjugacy class sizes in N and the structure of N by using localization ideas and graph theory, where N is a normal subgroup of a finite group G. Furthermore, we could generalize some related results by omitting some conditions in the current conclusions. . Based on the above, we would establish the relationships among certain sizes(number) of conjugacy classes, the derived length, and Fitting length in a finite group, so that the research about some conjectures, particularly Berkovich conjecture, would be pushed forward.

共轭类的数量性质是有限群论研究的重要课题之一。本项目围绕元素共轭类长,共轭类长度的集合等的数量性质以及它们与有限群结构之间的关系展开研究，主要研究如下内容：. 1、 借助于共轭类长和不可约特征标的维数之间的关系，研究某些元素（如：p-正则元，素数幂阶元等）的共轭类长含有更多素因子的情形，同时，考虑最短或者最长的共轭类长取特殊数时有限群的结构；. 2、 在所有共轭类长所构成的集合具有某些特定数量性质的情形下确定有限群的结构，讨论有限群G的一个正规子群N中的G-共轭类长的集合与N结构之间的关系，并把局部化的思想和图论的相关知识应用到我们的研究中来，进一步摆脱已有结论中的某些条件限制去考虑更一般的问题。. 在此基础上建立有限群的某些共轭类长度（个数）与有限群的导长，Fitting长之间的关系，从而推进一些相关猜想，特别是Berkovich猜想的研究。

元素共轭类的数量性质是有限群论研究的重要课题之一。本项目共分四部分研究内容：. I. 本项目利用局部化的思想和图论的相关知识，从元素共轭类长,共轭类长度的集合等的数量性质出发研究了正规子群N中某些元素的G-共轭类长与N的结构之间的关系。在研究过程中我们遵循两个原则：一、利用尽可能少的元素的共轭类长，二、共轭类长的数量性质尽可能更具有一般性。. II. 借助于共轭类长和不可约特征标的维数之间的关系，利用群的阶和次高维不可约特征标对某些单群进行了刻画。. III. 在以上研究的基础上，我们也对子群的共轭类长进行了研究，建立了某些子群的共轭类长与导长之间的关系。另外，通过上述研究，我们注意到某些特定的类长与其所对应的循环子群的共轭置换性之间存在一定的联系，尤其是素数阶子群的共轭置换问题，因此我们也研究共轭置换子群、R共轭置换子群与有限群结构之间的关系。. IV. 作为共轭类研究思想的应用，我们也尝试着对相关的密码学问题做了部分研究。.总之，本项目依据研究内容、技术路线和研究目标，各项工作顺利开展，获得一系列研究成果。不仅实现预期的研究目标，而且也对一些新的研究内容进行了初步的探索。