各向异性介质大地电磁场积分方程法高效三维正演算法研究

The accuracy and efficiency are significant criteria to estimate magnetotelluric 3-D modeling method considering electrical anisotropy. For the conventional magnetotelluric modeling based on integral equation (IE), singularity of dyadic Green's function and hypothesis of piece-wise constant basis functions to represent the unknown electric field, as well as conductivity being taken to be constant in each cell, are the predominant factors that reduce the accuracy of numerical solutions. While using digital filtering to calculate dyadic Green's function and accumulative calculation of 3-D discrete convolution are enormous CPU time consumption processes. Poor accuracy and low efficiency tremendously restrict the application of IE approach to magnetotelluric modeling for the continental scale region. Therefore, this project intends to develop a novel parallel algorithm using a hybrid integral equation and vector finite element method, and then utilizes Gauss numerical integration and analytical formula to integrate through the singularity. Afterwards, making a special effort to investigate a fast algorithm for the 3-D discrete convolution. The aim of presented project is to come up with an efficient, accurate and RAM saving 3-D MT forward solver for solving regional scales considering electrical anisotropy, which will contribute to the improvement of inversion for large-scale region and big data. The anticipated results are valuable in both theory and application.

计算的精度和效率是评价各向异性介质大地电磁三维正演方法的重要指标。在传统大地电磁积分方程法三维正演中，并矢格林函数积分的奇异性和剖分单元内的场值、电导率常数化是降低计算精度的主要因素。而采用数字滤波法计算格林函数以及三维离散卷积的累加计算是影响计算效率的主要因素。低计算精度和低计算效率直接制约了积分方程在大尺度区域大地电磁正演中的应用。针对这两个重要因素，本申请项目拟提出一套系统的积分方程高效求解算法，借助矢量有限元法、高斯数值积分、解析解法来解决并矢格林函数积分的奇异性和计算精度问题；通过研究空间域三维离散卷积快速计算新方法、算法并行化来解决计算效率问题。获得一套高效、高精度、小内存的大地电磁正演新算法，解决大尺度、电导率各向异性研究区域的三维模拟问题，为后期大区域、大数据的反演奠定基础。预期研究成果具有要重要的学术价值和广泛的应用前景。

在传统的大地电磁积分方程法三维正演中存在制约计算效率和精度的几个问题。一是格林函数中Bessel函数积分的计算。二是格林函数的奇异性问题。三是由积分方程法获得的系数矩阵是稠密矩阵，它的空间复杂度是N^2，当剖分单元的数量很大时，需要巨大的存储空间。四是三维离散卷积计算，累加计算是非常耗时的过程。基于此，本项目主要开展如下研究内容。一是利用解析式计算贝塞尔函数积分。二是利用等效体积法或者高斯数值积分解决格林函数的奇异性。三是通过网格设计和系数矩阵分解，构造出具有特殊结构的Toeplitz矩阵，从中去掉冗余计算，从而减小系数矩阵的计算量和存储量。同时，因为这个特殊的结构，在解方程组的过程中，可以使用快速傅里叶变换高效计算三维离散卷积。此外，我们利用各向异性指数和极性图展示电导率各向异性特征。从理论模型来看，根据各向异性指数的值，我们可以直接识别异常体是否为各向异性，但难以识别电阻率各向异性的方向。极性图可以识别各向异性方向，但在各向同性体与围岩交接处或者异常体之间的交界处也呈现各向异性特征，这种现象容易使我们将各向同性解释为各向异性。因而，结合二者可以使我们更全面地识别各向异性。