三维麦克斯韦方程的高阶快速算法

Maxwell equation is fundamental in optics and electromagnetics. It plays a key role in lots of important applications including radar detection, cloaking technology, waveguide communication, etc. For electromagnetic scattering problem, experiments are often very expensive to set up. On the other hand, numerical simulation for Maxwell equations is not only cost efficient, but also fast and effective. The rapid development of computational technology also accelerates the development of high order algorithms for Maxwell equations. However, conventional numerical methods suffer from low accuracy and slow convergence rate for solving scattering problem in complex medium. In this project, we plan to develop fast and high order numerical methods for three dimensional Maxwell equations. In particular, we will combine techniques from integral equations, fast multiple method and fast direct solver to propose more efficient algorithm for solving scattering problem in complex medium. One of the main goals is to find a fast and efficient numerical quadrature for singular integrals in integral equations over a large class of regular surfaces. Meanwhile, to solve the dense linear system after discretization, conventional iterative methods converge slowly and are expensive in each iteration. We will propose novel numerical methods by combining advantages from fast direct solver and iterative methods. In the end, we will apply our algorithm to the inverse scattering problem in electromagnetics. In particular, we are interested in finding efficient algorithms for three dimensional reconstruction of objects based on the received scattered wave.

麦克斯韦方程是光学与电磁学的基础，在雷达探测，隐身技术，波导通信等重要应用领域均起着关键作用。实际中在处理电磁散射问题时，实验代价往往非常高昂，数值模拟不但能节省成本，而且快速高效。随着计算机技术的不断发展，对麦克斯韦方程算法的研究也在不断深入。针对传统的计算方法对复杂散射体求解的计算精度低，收敛速度慢等问题，本项目拟研究三维麦克斯韦方程的高阶快速算法，特别是研究如何利用积分方程理论，快速多极算法，快速直接算法等工具，开发求解复杂介质散射的算法。研究的重点在于实现积分方程中的奇异积分算子在一般曲面上的快速高阶离散。同时，针对离散后的稠密线性方程，传统的迭代算法具有迭代次数高，每次迭代代价大等问题，本项目将研究直接求解算法与迭代算法相结合的新算法。最后，也将研究快速算法在电磁反散射中的应用，特别是研究如何利用电磁波的散射信息实现三维物体的重构。

本项目针对电磁方程的散射与反散射，以及相关的弹性波方程散射与反散射问题展开了一系列研究。这些方程广泛地出现在地质勘探，雷达探测，医学成像和光场设计等重要应用领域，发展这些方程的快速算法可以有利推动基础数学的落地和相关应用学科的进步。其相关反散射问题则是利用可测的波场来确定介质的性质，往往具有高度的非线性性和不稳定性，发展高效稳定的反演算法一直是国际学术的研究前沿。项目负责人针对这些问题，主要作出了三方面的贡献：1.针对三维电磁散射问题，发展了基于快速傅里叶变换和格林函数解析性质的快速求解算法，并结合逐次线性化方法设计了稳定的三维散射体反演方法。2.针对弹性波的散射问题，发展了基于亥姆霍兹分解的新型积分方程求解方法，有效避免了弹性波格林函数的复杂性，并发展了无相位数据情形下弹性波反演算法。3.针对多个散射体的散射与反散射问题，发展了基于快速多极方法的高效散射算法，并设计了基于逆时成像的快速反演方法。这些算法在芯片设计，隐身设计，以及无损探测等领域都有重要的应用。