非线性Schrödinger方程的KAM理论

From the perspective of dynamics,this project takes nonlinear Schrödinger equation as the model, and intends to study the existence of its quasi-periodic solutions. Nonlinear Schrödinger equation is one of the most famous and important nonlinear evolution equations in mathematical physics. It can be used to describe many nonlinear phenomena in many fields such as nonlinear optics, plasma physics, communications, and so on. The problem of the existence of its periodic solutions and quasi-periodic solutions has become one of the hot issues in the field of mathematical physics..This project aims to develop Lyapunov-Schmidt reduction and Nash-Moser iterative methods, and to study the existence of quasi-periodic solutions of nonlinear Schrödinger equations. The quasi-periodic structure reflects the property of anisotropy. The innovation of this project lies in that we’ll study a problem of unbounded perturbation, and the nonlinear terms contain the same order terms as the highest-order derivative of the equation. These studies will help to understand the dynamic mechanism of nonlinear Schrödinger equation, and provide theoretical basis and research methods for analyzing and solving practical problems.

本项目以非线性Schrödinger方程为模型，从动力学角度出发，拟围绕其拟周期解的存在性问题展开研究。非线性Schrödinger方程是数学物理中最著名和最重要的非线性发展方程之一，可以用来描述非线性光学、等离子物理、通信等许多领域中的非线性现象，其周期解及拟周期解的存在性问题是当今数学物理领域备受关注的热点问题之一。. 本项目旨在发展Lyapunov-Schmidt约化和Nash-Moser迭代方法,研究非线性Schrödinger方程拟周期解的存在性。拟周期结构反映了各向异性的性质。本项目的创新之处在于所研究的是一个无界摄动问题，并且非线性项中含有与方程最高阶导数同阶的项。通过这些研究,有助于理解非线性Schrödinger方程的动力学机制,为分析和解决实际问题提供理论依据和研究方法。

在合作导师指导下，本项目主要研究非线性Schrödinger方程的KAM理论及其相关的问题，具体内容包括以下三个方面。.1.非线性Schrödinger方程是数学物理中最著名和最重要的非线性发展方程之一，可以用来描述非线性光学、等离子物理、通信等许多领域中的非线性现象，其周期解及拟周期解的存在性问题是当今数学物理领域备受关注的热点问题之一。本项目研究了非线性耦合Schrödinger-KdV方程的精确行波解、求解了一个描述具有不同色散关系的两个长波相互作用的Hirota-Satsuma耦合KdV方程组，分别得到了孤立波解、有理函数解、不连续周期解和Jacobi椭圆函数解。.2.研究了由Ornstein-Uhlenbeck过程驱动的随机SIS、SIRS传染病模型。研究其动力学特性，证明全局解的存在唯一性，确定导致疾病的持续和灭绝的阈值并求出两种情况的解，计算线性化系统的概率密度函数在平衡点附近的均值和协方差的显式公式。该研究工作对预防与应对世界上流行的疟疾、艾滋病等疾病具有数学理论指导价值。.3.研究了几类具有均值回归过程的随机Lotka- Volterra模型。研究种群分别在捕食-被捕食、相互竞争、互利共生的相互关系下所产生的动力学特性，为预测和调控物种生长，保护物种持久生存，解决实际生物问题提供数学理论指导方案。