非线性发展方程的求解与解的性质研究

Step one, improved auxiliary equation method and homogeneous balance method will be applied to construct new infinite sequence solutions of nonlinear evolution equations of physical problems in solid, fault, breaking, etc. Firstly, Backlund transformation of two kinds of auxiliary equation, nonlinear superposition formula of solutions, Riemann theta function and new solutions of elliptical auxiliary equations etc. are obtained. Second, infinite fundamental system of solutions composed of three linearly independent solutions of homogeneous linear ordinary differential equation with constant coefficients of second order, Euler equation of second order are found through searching for suitable function transformation. Based on this, new infinite sequence soliton-like solutions are constructed which are composed of Rieman theta function, Jacobi elliptic function, hyperbolic function, triangular function and trial function in single function and composite functions. And these new solutions include smooth soliton, peak soliton, compact soliton, etc. Finally, According to homogeneous balance method, new multi-soliton solutions of nonlinear evolution equations are gained by choosing a suitable function transformation and function series. Step two, the problem to characters of propagation and mutual action of solutions of physical problems in solid, fault, breaking are obtained to try to find new algebraic and geometric properties and physical significance of solitary wave with the help of symbolic computation system Mathematica.

（一）改进辅助方程法和齐次平衡法，构造固体、断层和破裂等物理问题中的非线性方程的无穷序列新解。(1)已获得了两类辅助方程的贝克隆变换和解的非线性叠加公式以及椭圆辅助方程的Riemann theta 函数等新解。(2)寻找合适的函数变换，获得二阶常系数齐次线性常微分方程和二阶欧拉方程的三个线性无关解构成的无穷多个基本解组。在此基础上，构造非线性发展方程的由Riemann theta 函数、Jacobi椭圆函数解、双曲函数、三角函数和有理函数构成的单函数型和复合函数型无穷序列类孤子新解。这些解包括光滑孤立子、尖峰孤立子和紧孤立子等新解。(3)基于齐次平衡法，寻找合适的函数变换与函数级数，构造非线性发展方程的多孤子新解。（二）利用符号计算系统Mathematica分析研究，获得解在固体、断层和破裂等物理问题中的传播和相互作用的特点等问题，试图发现孤立波的代数几何新性质和物理意义。

本项目中给出两种求解方法，通过符号计算系统Mathematica的帮助，获得了非线性发展方程(组)的多种无穷序列新解，并解的性质进行了分析研究。.一、用改进的辅助方程法，构造了非线性发展方程(组)的多种新解。.1．给出函数变换与二阶常系数线性常微分方程(或二阶常系数非线性常微分方程)相结合的方法,构造了具任意次非线性项的发展方程等方程的新解。.2．给出具4次非线性项的椭圆方程与第一种椭圆方程的拟贝克隆变换。在此基础上，通过第一种椭圆方程的自贝克隆变换和新解，获得具4次非线性项的椭圆方程的新结论。利用具4次非线性项的椭圆方程的新结论，构造了Camassa-Holm-r方程等方程的无穷序列类孤子新解。.3．给出具6次非线性项的椭圆方程与第一种椭圆方程的拟Bäcklund变换。在此基础上，通过第一种椭圆方程的自贝克隆变换和新解，获得了具6次非线性项的椭圆方程的新结论。利用获得结论，构造了(n+1)维多重sine-Gordon方程等方程的无穷序列新解。.4． 给出合适的函数变换，将非线性发展方程组的求解问题化为几个常用的常微分方程的求解问题。在此基础上，利用几种常微分方程的相关结论，构造了多个非线性发展方程组的复合型新解。.5． 给出辅助方程、函数变换与变量分离解相结合的方法，构造了广义Camassa-Holm方程等方程的复合型新解。.6． 给出辅助方程与函数变换相结合的方法，构造了几种非线性发展方程的多种单孤子新解，并分析解的性质。.7． 利用双曲(三角)函数型辅助方程与函数变换相结合的方法，构造了非线性离散系统的无穷序列新解。.二、用改进的齐次平衡法，构造了几种非线性发展方程的多孤子解。.改进齐次平衡法，构造了两种色散长波方程等几种发展方程的由指数函数、三角函数组合的多孤子解、多周期解和多孤子解与多周期解组合的复合型新解。.三、分析了解的性质。. 用符号计算系统Mathematica，分析了两种方法，获得的非线性发展方程(组)的单孤子解、多孤子解、孤子解与周期解组合的解、多周期解和怪波解等多种解的性质。