爆破发展方程的控制理论

This project will develop the study of some control problems for blowup evolution equations. The first class of problems that we intend to study is blowup time optimal control problems of ordinary differential equations from the point of geometry; The second class of problems that we intend to study is the asymptotic behaviors of solutions to the control systems governed by blowup parabolic equations. These problems have wide application background. So far, we have not find in the literature that the study on the geometric theory of blowup time optimal control problems for ordinary differential equations, and the study on the control theory of the asymptotic behaviors of the solutions in the neighborhood of blowup points for parabolic equations. The core task of this project is to give the characterization of the geometric structure of blowup time optimal control systems for ordinary differential equations, and to obtain the results that the solutions of blowup parabolic equations can present the given asymptotic behaviors in the neighborhood of blowup points by making use of controls. Thus, it can enrich the control theory of blowup evolution equations and can give effective methods in order to solve the above control problems of evolution equations.

本项目将开展爆破发展方程的若干控制问题的研究。我们拟研究的第一类问题是从几何观点研究常微分方程组的爆破时间最优控制问题；本项目拟研究的第二类问题是爆破抛物型方程支配的控制系统解的渐近行为问题。这些问题有广泛的应用背景。迄今为止，我们尚未从文献中发现对常微分方程组爆破时间最优控制系统的几何理论以及抛物方程爆破点附近解的渐近行为的控制理论做任何研究。这一课题的核心任务是给出常微分方程组爆破时间最优控制系统的几何结构的刻画，以及得到通过施加控制可使爆破抛物方程的解在爆破点附近呈现指定渐近行为的结论。 从而，丰富爆破发展方程的控制理论，并且为解决上述爆破发展方程的控制问题提供有效的方法。

本项目按计划完成了项目申请书和计划书所列研究内容。 . 首先从几何观点刻画了具有爆破性质的常微分方程组的最优控制问题满足的必要条件；其次，得到了一类抛物方程的爆破时间最优控制Pontryagin最大值原理；对于一类爆破抛物型方程支配的控制系统解的渐近行为，空间区域是全空间的情形，对于给定的控制，我们首先借鉴文献中的方法证明了系统的解在爆破点附近的渐近行为可以分为三类；其次，我们证明了给定一个爆破点和一种类型的渐近行为，存在控制使得系统的解在此爆破点附近有指定的渐近行为；最后，对于有界区域的情形，我们通过延拓的方法将问题转化为空间区域是全空间的情形，再利用空间区域是全空间的情形的相关结果得到了有界区域时爆破点附近的渐近行为的上述两方面结论。我们还增加了几个与本项目相关的问题的研究。得到了系列成果。. 所得成果主要发表在正文所列的12篇SCI论文中。. 本项目所取得的系列研究成果会对相关实际应用问题具有一定的理论指导作用。