关于极小曲面高斯映射及高斯曲率的新研究

The history of the research for Minimal surfaces has been 250 years from 1760, one of main direction is Bernstein type of uniqueness theorem and its corresponding limited quantitative form. This correspondence is also reflected in the theory for value distribution and normal families of meromorphic functions, that is,the so-called Bloch principle. Therefore, we want to make a deep study for the Gauss map and Gauss curvature of minimal surfaces from the following aspects: (1) to explore some properties P which can meet Bernstein and generalized Bernstein type theorem and its corresponding the limited quantitative form; (2) to find the necessary conditions for the Gauss map of complete minimal surface in m dimensional Euclidean space, especially the lower bound for the order of normality and quasinormality, and then find some applications.

自1760年以来，极小曲面的研究已有250多年的历史，其主要研究方向之一就是Bernstein型唯一性定理及其对应的有限定量形式，这种对应在亚纯函数值分布与正规族理论中也有体现，就是所谓的Bloch原理。因此，我们将从以下几个方面对极小曲面的Gauss映射及Gauss曲率作深入研究（1）探索满足Bernstein型及广义Bernstein型定理及其对应的有限定量形式的抽象性质P；（2）研究m维欧式空间中完备极小曲面的Gauss映射需满足的必要条件，特别是其正规，拟正规阶数的精确下界，并探索其应用。

极小曲面的研究有着重要的理论价值和科学意义，在本项目中，我们首先研究了满足 Bernstein 型唯一性定理及其有限定量形式的性质 P，得到了当m维欧式空间中的浸入极小曲面的高斯映射g满足紧性质P时，其高斯曲率K一定满足估计式|K(p)|d^2(p)<=C，该结果推广了汝敏教授91年得到的非平坦完备极小曲面高斯映射至多不取m(m+1)/2个处于一般位置的超平面的结果，开创了正规族理论在极小曲面的高斯曲率估计应用中的先河；其次，我们研究了微分非退化的亚纯映射取余维数至少为2的光滑子流形Y的第二基本定理，得到了相应的不等式，并利用该不等式研究了涉及两个多元亚纯函数分担值的唯一性问题，开辟了唯一性理论研究的新的道路；最后，在经典的亚纯函数值分布与正规族理论方面，我们研究了小函数为正弦函数的Picard型定理和零点分布在给定的一条直线上的正规定则，得到了相应的结论。