超定偏微分方程组的几何研究与几何应用

本课题计划首先在有限型，实解析，弱拟凸的条件下研究（关于Cauchy-Riemann方程组）Kohn Algorithm的effective termination结果, 并进一步研究dd^c-方程组的整体可解性与正则性相应的几何凸性条件，希望由适当的几何凸性出发建立Bochner-Kidaira-Nakano型的不等式由此得到整体可解性，并用Kohn Algorithm来讨论dd^c-方程组的正则性。在得到上述结果之后，继续探索怎样将这些结果推广到一般的椭圆复形.本课题的研究是在J.J.Kohn,Y.T.Siu.等数学家的工作基础上探索几何方法在局部可积的超定方程组整体可解与正则性问题中的应用,并进一步研究所得结果的几何应用（主要是与除法问题有关的应用）。

我们用J.Kohn和Hormander的L2理论研究了一些重要的超定偏微分方程组和几何应用，主要包括：全纯除法问题、p－凸流形的拓扑限制以及（half）Dirac型方程（包括柯西－黎曼方程和实柯西－黎曼方程等）。构造有用的权函数是L2理论的核心内容，在这方面我们对L2理论本身也作出了新的发展。..全纯除法问题可以看成是经典的Hilbert零点定理的解析、effective版本，这是代数几何、复几何领域的关键问题之一。我们首次在对解析层同态建立了除法定理，这为构造整闭理想层提供了有效的办法。我们用L2方法研究了p－凸流形的拓扑限制，和以往的结果相比我们对底流形的曲率没有任何限制条件，从而我们的结果刻画了p－凸条件本身对流形的拓扑的制约。此外，我们还把以上研究超定偏微分方程组的L2方法发展到一类重要的几何算子－half Dirac 算子（包括柯西－黎曼算子和实柯西－黎曼算子等等）， 对这类算子建立了带权L2估计并在辛几何中取得初步应用包括：提供了关于Dirac型方程的新的研究观点，改进了Gromov－Lawson关于Dirac方程可解的判别条件。..我们通过Kohn-Hormander L2方法统一研究了相关的超定偏微分方程组并得到几何应用。在Kohn-Hormander L2方法以往的应用中底流形总假定是非紧的，这是因为人们总是选取具有某种凸性的权函数，而在紧致的情形这样的函数自然就不存在了。我们发展了一般的选取权函数的方法使得在紧致的情形也能适用。