基于能量变分导数的偏微分方程的时空自适应方法

Many partial differential equations arising from material science are based on the variational derivative of some energy functionals, for example, Cahn-Hilliard phase field equation, phase field crystal model, molecular beam epitaxy model. These models have some common features: the energy decays quickly at early stage and decays slowly at later stage; it takes extremely long time to reach steady state; singular or nearly singular solution may be developed, especially, complex interface may be formed. Motivated by these observation, we will propose numerical algorithms which are adaptive on both space and time. The time steps are determined based on the energy variation with respect to time. If the energy decays quickly, small time steps are generated, while large time steps may be used when energy decays slowly. With the adaptive time steps, both the steady state and the dynamical solution can be simulated with almost no loss of accuracy。In space discretization, adaptive moving mesh method is very effective in simulating this kind of model which may develop singular or nearly singular solutions, precisously, less grid points are distributed in the smoooth region while more grid points are used in the region with large solution variation. With the combination of space and time adaptivity, the computational efficiency is significantly improved.

在材料科学中很多的数学模型是基于某种能量泛函的变分问题而建立的偏微分方程，例如Cahn-Hilliard相场模型，相场晶体模型，分子束外延模型等。这类问题有些共同的特点：在初始阶段能量下降比较快，然后逐渐变得下降缓慢直至最后达到稳定状态；状态变量需要经过很长时间的发展才能达到最后的稳定状态；局部具有奇性或者几乎奇异的结构可能会出现，其中可能出现复杂形状的界面。为此本项目将对时间步长和空间网格分布提出自适应算法，在时间上根据相应的能量泛函关于时间的变化率自动生成合适的时间步长，这样既能抓住迅速变化的中间过程又能准确得到最后的稳定状态，可以在保持计算精度的同时提高计算效率。在空间上，我们根据解的奇异情况来分布网格点，在奇性大的地方聚集相对较多的网格点，在其他解比较光滑的地方分布较少的网格点，这样可以用有限的网格点实现最合理的分布，时间和空间上的自适应方法相结合，必定会大大提高计算效率。

在本项目中，我们针对一类基于某种能量泛函的变分问题而建立的数学模型，例如Cahn-Hilliard相场模型，相场晶体模型，分子束外延模型等，提出了时间步长自适应的方法。根据相应的能量泛函关于时间的变化率自动生成合适的时间步长，这样既能抓住迅速变化的中间过程又能准确得到最后的稳定状态，可以在保持计算精度的同时提高计算效率。极具挑战性的工作是，我们将能量泛函的凸分裂方法推广到二元的能量泛函上，并且成功分析和计算了带有表面活性剂的二元流体的模型，其中所提出差分格式解的存在唯一性和稳定性也做出了严格的理论分析，验证了时间步长自适应方法对多元能量泛函的情形依然是有效的。此外，我们用能量泛函建模的方法研究了热敏水凝胶问题和建立了非均匀纳米棒状复合材料的水动力理论，其中还考虑了耦合Smoluchowski输运方程，其计算结果预测到若干合理的流变学特性。本项目提出的能量建模方法和凸分裂的绝对稳定格式以及自适应计算方法对于基于多元泛函的梯度流类的问题是非常有效的。