反应扩散的数学理论及椭圆与抛物型偏微分方程组

Reaction-diffusion has been used extensively in modeling various phenomena in nature and science. In spatially homogeneous environments (i.e. in autonomous systems), Turing’s ingenious idea of "diffusion-driven instability，” proposed in 1952， has led us to an important breakthrough in mathematics， namely, the establishment of spike-layer steady states， and has stimulated studies for various concentration phenomena, such as cross-diffusions in ecology. In spatially heterogeneous environments, remarkable phenomena and unexpected situations occur frequently when the diffusion rates vary, as the well known phenomenon ”slower diffuser always prevails!” indicates， even in the classical Lotka-Volterra systems with two similar competing species. Moreover, spatial heterogeneity may be the reason for modern plant ecologists to believe in coexistence than the “competition-exclusion principle” of Darwin. In this proposal, we intend to study the mechanisms involved in the interactions between diffusion, spatial heterogeneity and nonlocal effects, and how those affect the qualitative properties of solutions. Furthermore, we will investigate strongly-coupled systems and “directed movements” to understand the best strategy for species to survive. In addition, we also intend to study the connection between qualitative properties of solutions and the geometrical and topological properties of the underlying domains， and the zero sets and singular sets of solutions. In this proposal we will also investigate the variational problems for vector fields and related nonlinear elliptic systems, focusing on the singular limits of variational problems, anisotrpic phenomena, and boundary layers, and to develop mathematical methods to analyze problems in physics. Not only will this investigation create new and significant mathematics, but will hopefully improve our ability in modeling more sophisticated and realistic phenomena in our world.

本项目将对反应扩散的机制作彻底而系统的研究。在自治系统方面，了解导致方程中的各种self-organizing（如：凝聚）现象的机制；并研究强耦合方程组，例如生态学中的交叉扩散方程组。在非自治系统方面，了解扩散在非齐一空间上对竞争系统(Lotka-Volterra)的冲击, 进而了解“空间非齐一性”在植物生态学中“共存现象”上扮演的角色。并研究“定向移动”(强耦合方程)与非齐一空间的交互作用, 从而选择“定向移动”之最佳策略. 近年来，非局部效应扮演了越来越重要的角色，而它与反应扩散又有着极其自然的关联，亦为本项目之研究重点之一。对于含有奇异项的方程，重点研究解的性质以及区域的几何与拓扑性质对解的奇点集、零点集、凝聚集的影响。本项目还研究向量场的变分问题及相关的非线性椭圆型方程组，重点研究变分问题的奇异极限、各向异性现象、边界层现象，发展数学方法，并用于分析物理学中的一些数学问题.

我们研究在单一种群中，扩散与资源分布对总人口的影响。我们发展出了一系列的生物实验来验证数学的结果，修正了数学模型，再解决这些模型，并得到数学结果，佐证了生物的实验，也确立了这些生态中的基本事实及其数学模型。特别是我们给出了生态学中的一个基本“人口-资源互动”的模型，并从数学上获得了这个新的数学模型的解的各种性质。研究了两个竞争种群的动力学性质。在内在增长率与承载能力是线性相关的假设之下，在数学上完整的刻画了所有解的全部动力学性质。 .对带有非局部项的各类模型开展解的定性分析的研究。特别地研究了带有非局部扩散的竞争系统，在解轨道缺乏紧性的情况下，给出了动态解长时间渐近行为的完整刻画。对三类带有非局部项的特征值问题给出了主特征值的多种刻画方式，并进行了完整细致点谱分析。对具有非局部非线性项的Choquard方程和带Hardy项的椭圆方程解的孤立奇点的产生和分类进行了全面的研究。.对于含有奇异项的方程、包括高阶椭圆方程，研究了解的几何性质以及区域的几何和拓扑性质对解的奇点集、零点集凝聚集的影响。建立了带奇异权函数的Sobolev空间上的嵌入定理及退化椭圆方程非负解的存在性、正则性、解的稳定性、分类，预定奇点集的弱解的存在性。发展了有限维的Lyapunov-Schmidt约化方法并应用于二维带磁场的薛定谔方程的凝聚在稳定的、非退化的曲线上的解存在性。.本项目还研究向量场的变分问题及相关的非线性椭圆型偏微分方程组，重点研究变分问题的奇异极限、各向异性现象、边界层现象。在合理的参数范围内证明了液晶表面层状相的存在性。研究了Aharonov–Bohm 磁位势对超导相变的影响。对Meissner态给出了完整的数学理论，得到了解的正则性及其它性质的细致刻画。对边界层的形成，其位置以及序参数在边界层中的凝聚性态，解的能量的渐近极限以及边界能量的渐近估计给出了精细的刻画与估计。系统研究了含有旋度算子的方程的一种约化方法，并应用于非线性Maxwell方程组解的Schauder正则性，非线性Maxwell-Stokes方程或热电模型在最广泛的条件下或各种边值条件下的可解性、正则性或唯一性。.以上成果发展数学方法，并用于分析生态、生物学、物理学、材料科学以及几何学中的一些数学问题。