高维高阶及无界区域问题谱方法及其应用

In this project, we study numerical simulations of high order problems in multiple dimensions and problems on unbounded domains, and high accuracy algorithm of problems with solutions oscillating seriously defined on non-rectangular domains, which come from fluid dynamics and elasticity, etc.. Firstly, we establish some results on orthogonal, quasi-orthogonal and interpolation approximation by using orthogonal functions defined on one-dimensional bounded domains, and a family of irrational functions induced by it respectively, which are to be used for the spectral, spectral element and pseudospectral methods of high order mixed inhomogeneous boundary value problems in multiple dimensional bounded rectangular domains, and the problems with solutions oscillating seriously defined on non-rectangular domains. We establish mixed orthogonal and interpolation approximations by using the orthogonal system with certain weight function defined on whole line and orthogonal functions of one-dimensional bounded domains, which are foundation of spectral and pseudospectral methods of high order problems with some asymptotic behavior defined on unbounded domains. Then, based on this, we propose spectral and spectral element methods of high order mixed inhomogeneous boundary value problems in multiple dimensions, spectral element methods of problems with solutions oscillating seriously, defined on non-rectangular domains, and spectral method for high order problems on unbounded domains. The expected results will lay the foundation for high order problems defined on more complex domains and enrich the theory of spectral method.

本项目就弹性力学和流体力学等领域中有关髙维高阶问题、非直角区域问题及无界区域上的高阶问题展开研究。首先，针对髙维直角有界区域上高阶混合非齐次边值问题的谱、谱元和拟谱方法及非直角有界区域上具有剧烈振荡解问题的谱元方法，利用一维有界区域上正交函数及其诱导出的无理函数系分别建立相应的正交、拟正交及插值逼近理论；针对无界区域上具有某种渐进行为的高阶问题谱和拟谱方法，通过全直线上带权函数的正交函数，结合一维有界区域上正交函数建立相应的混合正交及插值逼近理论。然后，基于上述逼近理论，采用精确拟合边界的基函数来构造高维高阶混合非齐次边值问题的谱、谱元和拟谱方法，非直角区域上具有剧烈振荡解问题的谱元方法，及无界区域上高阶问题谱和拟谱方法。这些问题的正交、拟正交及插值逼近的系统理论及算法将为更复杂区域上的高阶问题奠定基础，也将丰富谱方法的有关理论结果。

本项目的研究背景：谱方法的优点是高精度, 常用的Fourier、Chebyshev和Legendre谱方法仅适用于周期问题和直角有界区域问题，并且一般考虑一维或二维空间中的二阶问题。但是，在科学研究和工程计算等领域中出现的许多问题可以归结为高维高阶和无界区域问题及分数解问题。例如弹性力学方程及流体力学方程等。. 本项目的主要研究内容：高维高阶问题谱方法，非直角区域混合非齐次边值问题谱方法，具有剧烈振荡解问题的谱元方法，无界区域上高阶问题谱方法及分数阶问题的新配置法。. 本项目的重要研究结果：提出了三维四阶混合非齐次边界条件问题的谱方法；新的带非齐次混合边界条件的高阶问题的谱和谱元素方法；提出了各向异性三维奇异问题的 Jacobi拟谱方法；凸六面体上混合边值问题谱方法；各项异性热传导问题非齐次Neumann边值问题的混合Legendre-Laguerre谱方法；矩形区域上混合非齐次Dirichlet/Neumann/Robin边值问题的谱方法；无界区域上各项异性热传到方程的混合Hermite-Legendre谱方法；全直线上Fisher型方程的谱和拟谱方法；非滑动边界条件的n维Navier–Stokes方程的谱方法；全直线上非线性Fokker-Planck方程的区域分解组合Laguerre谱方法；周期域上的Fokker-Planck 方程的混合广义Hermite-Fourier谱方法；无界区域上二阶问题的空-时双高精度谱方法；带奇异性解的二阶问题的基于Birkhoff 插值的非多项式基函数新的配置方法；基于分数阶Birkhoff 插值的Caputo型和Riemann-Liouville型分数阶方程谱配置法；带剧烈振荡解的二阶问题的基于Birkhoff 插值的非多项式基函数新的配置方法；以及无界区域上Laguerre 和 Hermit的好条件数微分矩阵谱配置方法。. 本项目的科学意义：以上问题为当前国际上谱方法研究的一些前沿与困难问题。这些重要研究结果将为高维复杂区域上的高阶问题及无界区域上高阶问题和非线性问题的高精度算法奠定基础，也将丰富谱方法的有关理论结果。