图论与李代数的上同调

本项目建立了一套完整的链图理论，发现了可形变图的秩与其表示矩阵的关系。把正根系，正根系的权，Weyl群，等等概念推广到自由Abel群的情况，并且把Kostant定理推广到一般的自由Abel群上的正根系情形。进一步证明了经典Lie代数中，除了F_2,D_n之外，其余类型的Lie代数其外代数的基都是GAD图。这种从图论角度认识上同调群的方法对于稳定同伦论，Lie代数表示论，代数的上同调，等等都有着重大的意义。

本项目发现了复数域上的半单李代数的正根系所构成的子李代数的上同调群有一个由基图的Weyl群作用导出的权结构，权导出外代数上链复形的权子复形的直和分解，每一个权子复形的基图为连通方块图。我们用图论的方法证明了连通方块图的所有顶点的秩相同，称为连通方块图的秩。以连通方块图为基图的上链复形，当素数p不整除秩的时候，上同调群的挠p部分为零。所以，复数域域上半单李代数的正根系的上同调群有一个权子群的直和分解，每一个权还有一个秩，当素数p不整除秩的时候，权子群的挠p部分为零。这个结果把Kostant定理推广到整系数上同调情形，对于李代数上同调理论具有非常重大的意义。我们还通过构造链同伦的方法计算了当每一个分量空间偶的同调群同态都是自由分裂的时候，多面积空间的上同调环结构。这个结果包含了所有已知的多面积空间的情形，并且还包含了以前不知道的多面体空间的上同调环，对于换面拓扑是一个重要的结果。我们还使用了Stanley-Reisener面环的Taylor分解，从另一个角度计算了Moment-angle复形的上同调环。