零和不变量s*(G)及D(G)的研究

Zero-sum theory has intrinsic connections with Algbraic Number Theory, Graph Theory, Ramsey Theory, Discrete geometry, factorization theory and etc., it is a hot topic of Combinatorial Number Theory. Many problems in the zero-sum theory need to be solved, the core of which is to determine the precise value of zero-sum invariants. We will study a new invariant s*(G), which is connected with factorization theory, and the classical invariant D(G), based on the tools and methods from Number Theory, Combinatorics and Algebraic. The goals of this project is to determine the precise values of s*(G) when G is the finite abelian group with rank 2, and that of D(G) when G is some finite abelian group with rank 3 and finite non-abelian group with small order; to study the relations between s*(G) and η*(G); and to describle the structure of the sequences the number of whose zero-sum subsequences reach the lower bound. Through the investigation of this project, we hope to obtain some nice results and make a contribution to zero-sum theory.

零和理论与代数数论，图论，Ramsey理论，离散几何以及分解理论等领域有着紧密联系，它是组合数论研究的热门方向。零和理论有很多待解决的以及公开的问题，其中最为核心的问题就是确定零和不变量的精确值。本项目拟综合利用数论、组合数学以及代数的方法和技巧，对零和理论中与分解相关的新不变量s*(G)以及经典不变量D(G)进行研究。主要包括确定秩为2的有限交换群的s*(G)的精确值，以及一类秩为3的有限交换群与低阶非交换群的D(G)的精确值；研究不变量s*(G)与η*(G)之间的关系；刻画定和子序列个数达到最优下界的序列的结构。希望通过对本项目的探索研究，取得若干创新性的研究结果，以促进零和理论的发展。

零和理论与代数数论，图论，Ramsey理论，离散几何以及分解理论等领域有着紧密联系，它是组合数论研究的热门方向。设G是以加法作为运算的有限交换群，则零为其单位元。零和理论主要研究G的零和序列的性质，以及与之相关的零和自由序列的性质。本项目主要取得了如下结果：. (1)令G为秩为r 的有限交换群，X是群G上的一个零和自由序列，并且supp(X)生成群G。 如果r=4， 并且阶的最小素因子p≥13，那么|∑(X)|≥2^(r-1)(|X|-r+2)-1。该结果发表于Colloquium Mathematicum。. (2)令G为有限交换群，群G上的序列S如果满足S在G的任意子群H上的子序列S_H的长度|S_H|≤|H|-1，则称S为G上的正则序列。如果群G的秩r≥3，除了p较小的一些情况外，我们证明了当|S|≥|G|/p+p-2时，∑(S)=G，其中p是|G|的最小素因子。该结果将发表于International Journal of Number Theory。