捕食者-食饵系统的行波解与渐近传播

In applied mathematics, predator-prey systems are very important to model the enery transmission, and they admit more complex dynamical behavior than the competitive and cooperative systems. In particular, the special monotone conditions of predator-prey systems lead to much difficulty in formulating the spatial propagation of them. The goal of this proposal is to investigate the spatial propagation of predator-prey systems by combining the theory of partial differential equations with the method of monotone dynamical systems. We will establish the minimal wave speed of traveling wave solutions and estimate the asymptotic speed of spreading of predator-prey systems with two or multi species. To obtain the existence of traveling wave solutions, the generalized upper and lower solutions will be utilized. In the study of asymptotic behavior and minimal wave speed of traveling wave solutions, we will apply the method of monotone dynamical systems and the classical theory of asymptotic spreading of KPP equation. The asymptotic spreading will be investigated by the theory of semigroups of linear operators, comparison principle appealing to the predator-prey systems and the asymptotic spreading of nonautonomous equations. The proposed work will lead to a better understanding of the dynamical behavior of predator-prey systems from the viewpoint of spatial propagation, especially to the dynamics of multi species modles and the role of coupled nonlinearities.

捕食者-食饵系统是描述自然现象的重要模型，与竞争系统、合作系统相比较，此类系统因单调性条件特殊使得相关研究有其自身的复杂之处，许多重要模型的空间传播性质还未被研究，对一些系统的探讨主要集中在行波解存在性因而时空传播阈值理论也不够完善。本项目以建立两种群及多种群系统行波解的最小波速、对捕食者和食饵的渐近传播速度进行估计为具体目标。在行波解研究中，将使用广义上下解解决存在性。对于渐近行为以及最小波速，将在使用比较原理的基础上，结合动力系统理论及经典渐近传播理论进行研究。在渐近传播研究中，将结合算子半群理论、捕食者-食饵系统的比较原理、非自治方程的传播理论、经典渐近传播理论对于不同未知函数进行估计，并着力体现其中非线性项的非平凡作用。在本项目中，对多种群耦合系统时空传播阈值理论的研究以及要体现的非线性项复杂性是项目的特色。

根据项目申请书以及计划书，本项目以建立两种群及多种群捕食者-食饵系统行波解的最小波速、对捕食者和食饵的渐近传播速度进行估计为具体目标。具体研究中，我们紧紧围绕捕食者-食饵的空间传播这一主题，以行波解、渐近传播为主要指标，展示了捕食者-食饵系统的动力学性质。首先对于行波解的最小波速问题，通过构造辅助函数、辅助方程并应用不动点定理等技巧，我们建立了一些经典捕食者-食饵系统的行波解存在性与不存在性并且对于可能最小波速时候行波解存在性也给出了分析。我们的结果表明对于最小波速时候的行波解，当行波坐标趋于负无穷时，其渐近行为是明显不同于大波速情形的。同时对于多种群情形，我们也进行了行波解最小波速的研究，给出了所有正波速情形下行波解的存在性与不存在性。这些结果极大地丰富了已有的关于行波解研究的结论，而且这些结果很容易推广到更多模型中去。在渐近传播理论研究中，我们以经典的Lotka-Volterra系统为出发点，通过构造复杂的辅助系统和精确的辅助函数，并应用经典方程的研究结果，给出了这类非合作模型的精确的渐近传播速度。这一方法可以推广到其他的一些系统并已被别人引用推广，也是该领域少有的精确结果之一。此外，为了能够更加深入地揭示捕食者-食饵系统的性质，我们也对捕食者-食饵系统、其他非单调系统的其他空间动力学行为进行了分析，得到了一些关于非单调系统的时空动力学行为的研究结果，有些研究过程对于我们捕食者-食饵系统的研究起到了启发作用。总体来讲，通过发展一些新的技巧和方法，我们对于预定的研究问题给出了比较满意的研究结果，完成了预定研究计划。