拟共形理论与Heisenberg群及其应用

本项目着重研究Heisenberg群上的拟共形映射理论。建立Heisenberg群上拟共形映射的Riemann型映射定理、Holder连续和边界扩张性理论；结合双曲几何、李群和李代数等知识讨论Heisenberg群上Beltrami方程拟共形解的存在性和唯一性条件，解决拟共形映射中的一些极值问题并完善区域的分类；探讨Hesienberg群上拟共形群的收敛和离散性准则及拟共形映射诱导下的Klein群序列的全局或局部收敛性，刻划局部拟共形同胚的代数半群结构、零测集不变性、紧致性和边界性态；同时将该理论应用于Ramanujan理论、Riemann曲面及复动力系统，研究Ramanujan模方程的解及其相关拟共形特殊函数的各种性态，探讨几乎处处正定度量的Riemann曲面几何性质和Julia集与Fatou集的几何拓扑和动力性质。本项目学科交叉、综合性强，应用广。

定义了Heisenberg群上有界域的Royden p-代数，证明了Heisenberg群上二个有界域拟共形等价当且仅当它们的（2n+2）-Royden代数同构，发现了Heisenberg群上数量化的Margulis引理，刻画了Heisenberg群上局部拟共形映射的代数半群结构，给出了零测度集的拟共不变性原理和Heisenberg群上完全双曲流形体积的上下界的精确估计，完善了Heisenberg群上拟共形映射的Holder连续性和边界扩张性理论。. 在Heisenberg群上的非C^{1,1}域中构造了一致和非正切可达域，建立了Heisenberg群上的凸域、拟凸域、星形域、Cigar域等典型区域上拟共形映射的Riemann型映射定理，发现了二维Heisenberg群上拟圆周和高维Heisenberg群上拟球的若干充分和必要条件。. 提出了Heisenberg群上曲面族的p-极值面积的概念，给出了p-极值面积的几何与分析性质以及算法，发现了p-极值面积和拟共形映射的本质联系，给出了一维Heisenberg群上Cantor-型集的Hausdorff维数在K-拟共形映射下的精确偏差估计；发现了Heisenberg群上拟共形映射的参数表达式，建立了典型域上若干重要度量在拟共形映射下的偏差不等式。. 建立了Beltrami方程在Heisenberg群上的等价形式，给出了Heisenberg群上的Beltrami方程具有拟共形同胚和局部拟共形同胚解的存在性、唯一性和正则性条件；利用区域的比较性质发现了Heisenberg群上不同度量下的双Lipschitz映射之间的本质联系和差别，并给出了若干度量下的双Lipschitz映射的判别准则和等价条件。. 通过对Gauss算术几何平均、Toader平均、Seiffert平均、广义对数平均、二次平均、指数平均、反调和平均和Neuman-Sandor平均等二元平均的比较，发现了拟共形特殊函数的系列精确或渐近精确不等式。. 建立了Heisenberg群上拟共形映射的收敛和离散性准则，澄清了Heisenberg群上由拟共形映射诱导出了Klein群的全局或局部收敛性问题，揭示了Ramanaujan模方程与拟共形特殊函数之间的内在联系。