微分方程特征值的分析性质与优化问题

Eigenvalue theory of differential equation is an important branch of mathematics. It has many important applications in the practical sciences. For example, the vibrational frequencies of objects and the survival threshold of species are closely related with eigenvalues. The basic topics of eigenvalue theory include the analytical properties of eigenvalues, such as continuity and Frechet differentiability, and optimization problems related with eigenvalues.. This project is devoted to the analytical properties and optimization of eigenvalues of two kinds of differential equations. One is the second-order measure differential equation, the other is the second-order elliptic partial differential equation with integrable coefficients. Precisely, we will achieve the following goals: solving some optimization problems of eigenvalues of measure differential equation with potentials; proving the complete continuity of principal eigenvalues of weighted measure differential equation, that is, the principal eigenvalue is continuous in measures in the weak star topology of measure space, and solving related optimization problems; verifying the eigenvalues of partial differential equation are complete continuous in integrable coefficients and the first eigenvalue is Frechet differentiable. Moreover, we will apply these analytical properties to the optimization of eigenvalues and the theory of partial differential equations.

微分方程的特征值理论是一个重要的数学分支。在许多实际问题中，特征值理论有着重要的应用。例如物体的振动频率与物种的生存门槛等物理量都与特征值紧密相关。研究特征值理论的基本课题包括特征值的分析性质，如连续性和Frechet可导性等，以及与特征值相关的优化问题。. 本项目致力于研究两类微分方程特征值的分析性质与优化问题，一个是二阶测度微分方程，另一个是具有可积系数的二阶椭圆偏微分方程。具体内容包括：求解带位势测度微分方程特征值的若干优化问题；证明加权测度微分方程主特征值的完全连续性，即主特征值关于测度在测度空间的弱星拓扑中连续，并考虑相关于主特征值的优化问题；证明偏微分方程的特征值关于可积系数具有完全连续性以及第一特征值具有Frechet可导性，并将这些分析性质应用于特征值的优化问题与偏微分方程的理论中。

微分方程特征值理论不仅是微分方程理论的一个重要组成部分，也具有一些有趣的物理学与生物学背景。本项目主要研究了几种二阶测度微分方程在Neumann边界下的特征值问题，包括带有势测度的方程，带有不定权测度的方程，以及既带有半正定权测度又带有单个点处奇异势测度的方程。对于第一种方程，验证了Neumann特征值的变分刻画，解决了Neumann特征值的等谱极值问题。对于第二种方程，得到了其主特征值存在的充要条件，并且解决了一些与主特征值相应的极值问题和等谱极值问题。对于第三种方程，给出了主特征值存在的两个充分条件，同时也解决了主特征值的一个极值问题。