仿射Deligne-Lusztig簇的分层

Affine Deligne-Lusztig varieties are the generalization of Rapoport-Zink spaces via group theoretic approach, while Rapoport-Zink spaces, as moduli spaces of p-divisible groups, are the local analogue of Shimura varieties. Its geometry is closely related to the special fiber of Shimura varieties. In this project, our aim is to study the geometry of unramified affine Deligne-Lusztig varieties and thus the Newton stratification of the special fiber of Shimura varieties. In a joint work with E. Viehmann(Munich Technical University), we have defined a new stratification on the affine Deligne-Lusztig varieties. In this project, we want to understand the properties of this stratification. And for some special affine Deligne-Lusztig varieties, we want to understand its set of irreducible components, the description of each irreducible component and the intersection behaviour of two irreducible components. Morevoer, we will investigate the relation between the geometry of affine Deligne-Lusztig varieties and representation theory, and also the relation between geometric Satake correspondence and string topology.

仿射Deligne-Lusztig簇是 Rapoport-Zink 空间以群论的方式进行的推广，而 Rapoport-Zink空间作为 p-可除群的模空间是志村簇的局部类比，它的几何与志村簇特殊纤维的几何性质密切相关。本项目的主要目标是理解不分歧的仿射 Deligne-Lusztig 簇的几何性质，从而来理解志村簇特殊纤维上的牛顿分层。对于不分歧的仿射 Deligne-Lusztig 簇，申请人在与 E. Viehmann 教授的合作中在它上面定义了一个新的分层。在本项目中，我们希望了解这个分层的性质。同时对于几类特殊的仿射 Deligne-Lusztig 簇，我们希望理解它们的不可约分支的集合、每个不可约分支的刻画以及不同的不可约分支之间的相交情况。而且，我们还将探索仿射 Deligne-Lusztig 簇的几何与表示论之间的联系，以及几何 Satake 对应与弦拓扑之间的联系。

我们在本项目中研究仿射Deligne-Lusztig簇，以及与它密切相关的两个几何对象：p进周期空间与Kisin簇。我们与朱歆文一起提出了关于仿射Deligne-Lusztig簇的不可约分支集合的猜想。我们证明了p进周期空间的Fargues-Rapoport猜想。 Fargues-Rapoport猜想猜测的是旗簇中的p进周期空间（也称为可允许子集）与它的代数逼近弱可允许子集相等的群论的充要条件。该猜想由本人和法国Jussieu研究所的Laurent Fargues研究员、中科院的申旭副研究员在2017年合作证明。此外，本人在2019年的工作中独立证明了Fargues-Rapoport猜想的推广版本，也就是非基本情形。这一工作将Hartl发表于Inventione的关于一般线性群GLn的工作推广到了任意的p进约化群。另一个主要成果是对于Kisin簇的Kisin猜想找到反例并证明部分情形。Kisin提出了关于Kisin簇连通分支集合刻画的猜想。特别地，当表示为不可约时，他猜测Kisin簇是连通的。今年本人与中科院的聂思安副研究员合作，证明了对于完全分歧局部域的Galois群的三维绝对不可约表示，Kisin猜想成立，并且找到了反例说明Kisin猜想在一般情形下并不成立。