三维流形Heggard分解的距离与融合

3-流形（及Heegaard分解）的融合是近年来三维流形拓扑领域中的热点课题之一，也已取得相当丰富的研究成果，但仍有大量的问题没有解决。本项目主要研究带边三维流形沿边界上子曲面融合后，Heegaard亏格非退化的条件以及退化的下界。内容包括：研究Hempel的Heegaard距离概念的推广，使之能够包含流形和分解的更多拓扑和几何信息，从而能更好的反映流形及分解的性质，并利用所得的性质研究3-流形（及其Heegaard分解）在一定条件下融合时的亏格变化范围。研究的结果对从Heegaard距离来了解融合的三维流形（以及Heegaard分解）具有重要意义，对推动纽结隧道数在连通和下的行为刻画也将发挥积极的作用。

本项目针对三维流形拓扑和纽结理论中的一些问题进行了一些新的尝试，计划中的几方面工作都有了良好的进展。具体而言做了如下几方面工作。一、对Hempel距离相关问题，我们从两方面开展研究，一方面我们研究了曲面曲线复形，讨论了极大素分解中因子个数与子复形维数的关系，引入了高维距离并讨论其性质；另一方面我们引入了非稳定化Heegaard分解s-距离的概念，并给出了三维流形Dehn手术理论的基本定理“Lickorish-Wallace定理”的一个全新简洁证明。二、我们研究了Heegaard分解沿带边曲面的融合，给出了单侧分离的平环和下流形亏格可加性成立的一个充分条件，并且给出了流形沿边界的本质子曲面自融合所得Heegaard分解是非稳定化的充分条件。三、我们研究了从带标架的链环序列的补空间的基本群得到的单纯群，确定了其伦型为若干三维球面一点并的回路空间。这是首次从链环群的角度来研究三维球面同伦群，构造了其回路空间新的单纯群模型。此外，我们还给出了回路空间链环群单纯模型区别于经典自由群模型的特有性质。本项目相关成果发表在TAMS，Topol. Appl.，Math. Scand.等国际期刊上。