随机生态动力系统数值算法研究

Ecological dynamical systems exist in all fields of the ecology. Because of the hysteresis of the action and reaction which acts between species and species with their surroundings and the ambient noise interference in these fields, the stochastic ecological dynamical systems with delay can describe the phenomena in the ecology more accurately than deterministic systems do. But there is very little literature about this kind of systems, and the related papers on its numerical aglorithms have not been found published till now. This project works over stochastic ecological dynamical systems and stochastic ecological dynamical systems with delay. First, system solution's existence conditions, stability, dissipativity, asymptotic behavior and other characteristics were studied. Next, high efficient numerical aglorithms was formulated to get high accuracy and stable solutions because there were quite few explicit analytical solutions for the stochastic systems, and the characteristics of the system solutions could be maitained as much as possible when these numerical aglorithms were used. Last, error analysis was done to these numerical aglorithms, and numerical stability was also investigated. In addition, numerical experiments were carried out on a mount of application examples to verify the validity of the formulated numerical aglorithms and the accuracy of the numerical analysis conclusion. There were both a broad application background and a high academic value for the issues investigated in this project.

生态动力系统广泛存在于生态学的各个领域。由于物种间以及物种与环境间作用力与反作用力的滞后性,并且这些领域普遍存在环境噪声的干扰，因此,带延迟项的随机生态动力系统比确定性系统更能准确地描述生态学中的各种现象。然而，到目前为止，仅有极少量文献对此类系统进行了研究，而对于其数值算法的研究还未发现相关文献。本项目以随机生态动力系统和随机延迟生态动力系统为研究对象，首先研究系统解的存在性条件以及解的稳定性、耗散性和渐近行为等特性；其次，由于随机系统很少有显式解，本项目拟构造高效的数值算法，以求获得高精度且稳定的数值解,并尽可能的保持系统解的特性；最后，我们对所获数值算法进行误差分析，并就方法的数值稳定性展开研究，并结合具体实例进行数值试验，用以验证所获方法的有效性及数值分析结论的正确性。本项目研究的问题具有较强的应用背景和较大的理论价值。

随机比例延迟方程是考虑了噪声干扰的比例延迟方程的扩展。因此，它能更真实的反映和模拟应用中的实际问题,在生态学、环境学中应用广泛。本项目将Milstein方法推广应用到该类方程，证明了方法的收敛性并给出了一组算法均方稳定的充分条件；本项目构造了一类随机预估校正算法用于数值求解随机比例延迟微分方程，证明了方法可以达到1/2阶收敛并获得了一组算法均方稳定的充分条件。以上研究内容形成了两篇高水平研究论文并已发表。.对于生物学来说, 用数学模型来研究生物学中的重要问题, 使得人们对生物发展规律有了全面的认识. 然而各种形式的随机干扰在现实的生态系统中无处不在, 环境噪声会不同程度的影响增长率, 环境容量以及系统的其他参数. 本项目讨论了一类随机Lotka-Volterra捕食-被捕食系统解的存在性及有界性。研究了二维随机Lotka-Volterra捕食-被捕食系统解的矩有界性, 灭绝性, 弱持久性, 并且通过数值模拟验证了结论的正确性。以上研究内容形成了两篇高水平研究论文并准备投稿到生物数学类杂志。.本项目讨论了带Bedding-DeAngelis功能反应的延迟随机捕食-被捕食系统和带Lévy噪声的随机捕食-被捕食系统, 分别证明了系统全局正解的存在唯一性和解的随机最终有界性，并给出了关于物种灭绝性的充分条件。以上研究内容形成了两篇高水平研究论文并已被接收。.考虑到生态动力系统很难满足线性增长条件，本项目为满足局部Lipschitz条件和Khaminskii-type条件的一类延迟随机微分方程构造了截断θ-方法，并讨论了方法的收敛性。以上研究内容形成了一篇研究论文，准备投稿到较高档次科研杂志。.项目组将研究随机生态动力系统方法和技巧推广应用到随机金融模型，形成了研究论文《随机波动率跳跃扩散模型下复合期权定价》，已经在中文核心期刊发表。.此外，本项目将连续Runge-Kutta方法应用到一般形式的延迟积分微分方程, 并讨论了方法的稳定性, 其主要研究结果已经发表在国内权威期刊《计算数学》。关于随机微分方程的预估校正算法一般性理论的研究也取得了进展，成员正在抓紧整理相关内容。